Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V.\) Điểm \(M,\,\,N\) lần lượt là trung

Câu hỏi số 517911:

Vận dụng cao

Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V.\) Điểm \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AA',\,\,A'C'.\) Mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) chia khối trụ thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện chứa điểm \(A\) bằng

A. \(\dfrac{{3V}}{5}\)

B. \(\dfrac{{5V}}{8}\)

C. \(\dfrac{{23V}}{{36}}\)

D. \(\dfrac{{7V}}{{12}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517911

Phương pháp giải

- Tìm thiết diện của \(\left( {BMN} \right)\) với hình lăng trụ.

- Sử dụng phương pháp tỉ lệ thể tích, chia khối đa diện.

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(CC',\,\,K\) là giao điểm của \(BI\) và \(B'C'.\)

Khi đó \(MNKB\) là thiết diện của \(\left( {BMN} \right)\) với hình lăng trụ, chia hình lăng trục thành hai khối đa diện.

Ta chia khối đa diện \(A'MBB'N\) thành hai khối chóp là: \(M.A'BN\) và \(B.A'NKB'.\)

Ta có: \({S_{MNP}} = \dfrac{1}{4}{S_{AA'C'}} = \dfrac{1}{8}{S_{AA'C'C}} \Rightarrow {V_{B.A'MN}} = \dfrac{1}{8}{V_{B.AA'C'C}}.\)

Mà: \({V_{B.AA'C'C}} = \dfrac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{2}{3}V \Rightarrow {V_{B.A'MN}} = \dfrac{V}{{12}}.\)

Gọi \(J\) là giao điểm của \(AC\) và \(MN.\)

Ta có: \(\Delta MA'N = \Delta MAJ \Rightarrow JA = A'N = \dfrac{1}{2}AC \Rightarrow \dfrac{{NC'}}{{JC}} = \dfrac{1}{3}.\)

Vì \(NC'\,{\rm{//}}\,CJ\) nên \(\dfrac{{IC'}}{{IC}} = \dfrac{{NC'}}{{JC}} = \dfrac{1}{3}.\)

Vì \(C'K\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(\dfrac{{C'K}}{{BC}} = \dfrac{{IC'}}{{IC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{C'K}}{{B'C'}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{NKC'}} = \dfrac{1}{6}{S_{A'B'C'}} \Rightarrow {S_{A'NKB'}} = \dfrac{5}{6}{S_{A'B'C'}}\)

\( \Rightarrow {V_{B.A'NKB'}} = \dfrac{5}{6}{V_{B.A'B'C'}} = \dfrac{5}{6}.\dfrac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{5}{{18}}V.\)

Suy ra: \({V_{A'MBB'N}} = \dfrac{V}{{12}} + \dfrac{{5V}}{{18}} = \dfrac{{13V}}{{36}} \Rightarrow \) Thể tích khối đa diện chứa điểm \(A\) bằng \(V - \dfrac{{13V}}{{36}} = \dfrac{{23V}}{{36}}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.