Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn xy = 2. Tìm giá tri nhỏ nhất của biếu thức M

Câu hỏi số 52071:

Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn xy = 2. Tìm giá tri nhỏ nhất của biếu thức

M = $\frac{1}{x}$ + $\frac{2}{y}$ + $\frac{3}{2x+y}$

A. MinM = $\frac{11}{4}$

B. MinM = $\frac{13}{4}$

C. MinM = $\frac{15}{4}$

D. MinM = $\frac{17}{4}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:52071

Giải chi tiết

M = $\frac{1}{x}$ + $\frac{2}{y}$ + $\frac{3}{2x+y}$ = $\frac{2x+y}{xy}$ + $\frac{3}{2x+y}$ = $\frac{2x+y}{2}$ + $\frac{3}{2x+y}$

= ( $\frac{3}{8}$ . $\frac{2x+y}{2}$ + $\frac{3}{2x+y}$ ) + $\frac{5}{8}$ . $\frac{2x+y}{2}$

Có ( $\frac{3}{8}$ . $\frac{2x+y}{2}$ + $\frac{3}{2x+y}$ ) ≥ 2 $\sqrt{(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2} + \frac{3}{2x+y}) }$ = $\frac{3}{2}$ .

Dấu "=" xảy ra khi $\frac{3}{8}$ . $\frac{2x+y}{2}$ = $\frac{3}{2x+y}$

Có $\frac{5}{8}$ . $\frac{2x+y}{2}$ ≥ $\frac{5}{8}$ $\sqrt{2xy}$ = $\frac{5}{4}$ . Dấu "=" xảy ra khi 2x = y và xy = 2

Do đó M ≥ $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{11}{4}$ . Dấu "=" xảy ra khi x = 1 và y = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là $\frac{11}{4}$ khi x = 1 và y = 2

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link