Bác An có một khối cầu (C) bằng pha lê có bán kính 5cm. Bác An muốn làm một cái chặn giấy có

Câu hỏi số 522107:

Vận dụng cao

Bác An có một khối cầu (C) bằng pha lê có bán kính 5cm. Bác An muốn làm một cái chặn giấy có dạng khối trụ (T) nội tiếp mặt cầu (C) sao cho thể tích của khối trụ (T) là lớn nhất. Biết rằng khối trụ nội tiếp mặt cầu là khối trụ có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu.

Thể tích phần pha lê bị bỏ đi (lấy gần đúng đến phần nghìn) là:

A. \(70,442c{m^3}\)

B. \(302.299c{m^3}\)

C. \(221.299c{m^3}\)

D. \(71.299c{m^3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:522107

Phương pháp giải

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ biểu diễn qua chiều cao, bán kính đáy và bán kính mặt cầu.

Giải chi tiết

Gọi \(h,r\) lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ.

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(h = 2\sqrt {25 - {r^2}} \)

Khi đó thể tích khối trụ là

\(V = \pi {r^2}h = 2\pi {r^2}\sqrt {25 - {r^2}} = \sqrt 2 \pi \sqrt {{r^2}.{r^2}.(50 - 2{r^2})} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\begin{array}{l}{r^2}.{r^2}.(50 - 2{r^2}) \le {\left( {\dfrac{{{r^2} + {r^2} + 50 - 2{r^2}}}{3}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{{50}}{3}} \right)^3}\\ \Rightarrow \sqrt {{r^2}.{r^2}.(50 - 2{r^2})} \le \sqrt {{{\left( {\dfrac{{50}}{3}} \right)}^3}} = \dfrac{{50\sqrt {150} }}{9}\\ \Rightarrow V \le \sqrt 2 \pi \dfrac{{50\sqrt {150} }}{9} = \dfrac{{500\pi \sqrt 3 }}{9}\end{array}\)

Thể tích phần pha lê bị bỏ đi là: \(\dfrac{4}{3}\pi {.5^3} - \dfrac{{500\pi \sqrt 3 }}{9} \approx 221,299(c{m^3})\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.