Cho \(B = 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{2014}} + {3^{2015}}\). Chứng minh rằng \(2B + 3\) là một lũy thừa

Câu hỏi số 524630:

Vận dụng cao

Cho \(B = 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{2014}} + {3^{2015}}\). Chứng minh rằng \(2B + 3\) là một lũy thừa của \(3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:524630

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số.

Trừ các số hạng tương ứng từ hai vế của các đẳng thức.

Giải chi tiết

Ta có \(B = 3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{2014}} + {3^{2015}}\) (1)

Nhân \(3\) vào hai vế của \(B\) ta được:

\(3B = 3\left( {3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{2014}} + {3^{2015}}} \right) = 3.3 + {3.3^2} + {3.3^3} + ... + {3.3^{2014}} + {3.3^{2015}} = {3^2} + {3^3} + ... + {3^{2015}} + {3^{2016}}\) (2)

Lấy hai vế của (2) trừ hai vế tương ứng của (1) ta được:

\(\begin{array}{l}3B - B = \left( {{3^2} - {3^2}} \right) + \left( {{3^3} - {3^3}} \right) + .... + \left( {{3^{2014}} - {3^{2014}}} \right) + \left( {{3^{2015}} - {3^{2015}}} \right) + {3^{2016}} - 3\\2B = 0 + 0 + .... + {3^{2016}} - 3\\2B = {3^{2016}} - 3\end{array}\)

Suy ra \(2B + 3 = {3^{2016}}\)

Vậy \(2B + 3\) là một lũy thừa của \(3\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link