Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), góc giữa đường

Câu hỏi số 528168:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) bằng \({60^0}\). Thể tích của hình chóp \(A.BCB'C'\) bằng:

A. \(\dfrac{{3{a^3}}}{2}\)

B. \(\dfrac{{3{a^3}}}{4}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:528168

Phương pháp giải

+ Xác định góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\)

+ Xác định chiều cao của hình chóp \(A.BCB'C'\)

+ Tính diện tích hình chữ nhật \(BCC'B'\)

+ Hình chóp có chiều cao \(h\) và diện tích đáy là \(S\) có thể tích là \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).

Giải chi tiết

Lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\)\( \Rightarrow AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC' \cap \left( {A'B'C'} \right) = \left\{ {C'} \right\}\\AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A'C'\) là hình chiếu của \(AC'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left[ {AC',\left( {A'B'C'} \right)} \right] = \angle \left( {AC',A'C'} \right) = \angle A'C'A = {60^0}\)

\(\Delta A'C'A\) vuông tại \(A'\)\( \Rightarrow \tan \angle A'C'A = \dfrac{{AA'}}{{A'C'}} \Rightarrow AA' = A'C'.\tan \angle A'C'A = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\)

\(\Delta ABC\) đều có \(H\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow AH \bot BC\)

\( \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\)

Dễ dàng tính được: \({S_{BCC'B'}} = a.a\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3 \); \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Thể tích của khối chóp \(A.BCB'C'\) là: \({V_{A.BCB'C'}} = \dfrac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.