Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) bằng \({60^0}\). Thể tích của hình chóp \(A.BCB'C'\) bằng:

Câu 528168: Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) bằng \({60^0}\). Thể tích của hình chóp \(A.BCB'C'\) bằng:

A. \(\dfrac{{3{a^3}}}{2}\)

B. \(\dfrac{{3{a^3}}}{4}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)

Câu hỏi : 528168

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+ Xác định góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\)

+ Xác định chiều cao của hình chóp \(A.BCB'C'\)

+ Tính diện tích hình chữ nhật \(BCC'B'\)

+ Hình chóp có chiều cao \(h\) và diện tích đáy là \(S\) có thể tích là \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\)\( \Rightarrow AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC' \cap \left( {A'B'C'} \right) = \left\{ {C'} \right\}\\AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A'C'\) là hình chiếu của \(AC'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\)
\( \Rightarrow \angle \left[ {AC',\left( {A'B'C'} \right)} \right] = \angle \left( {AC',A'C'} \right) = \angle A'C'A = {60^0}\)
\(\Delta A'C'A\) vuông tại \(A'\)\( \Rightarrow \tan \angle A'C'A = \dfrac{{AA'}}{{A'C'}} \Rightarrow AA' = A'C'.\tan \angle A'C'A = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\)
\(\Delta ABC\) đều có \(H\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow AH \bot BC\)
\( \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
Dễ dàng tính được: \({S_{BCC'B'}} = a.a\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3 \); \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Thể tích của khối chóp \(A.BCB'C'\) là: \({V_{A.BCB'C'}} = \dfrac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.