Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , góc giữa đường

Câu hỏi số 528168:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , góc giữa đường thẳng $AC'$ và mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ bằng ${60^0}$ . Thể tích của hình chóp $A.BCB'C'$ bằng:

$\dfrac{{3{a^3}}}{2}$

$\dfrac{{3{a^3}}}{4}$

$\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}$

$\dfrac{{{a^3}}}{2}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:528168

Phương pháp giải

+ Xác định góc giữa đường thẳng $AC'$ và mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$

+ Xác định chiều cao của hình chóp $A.BCB'C'$

+ Tính diện tích hình chữ nhật $BCC'B'$

+ Hình chóp có chiều cao $h$ và diện tích đáy là $S$ có thể tích là $V = \dfrac{1}{3}Sh$ .

Giải chi tiết

Lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ $\Rightarrow AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AC' \cap \left( {A'B'C'} \right) = \left\{ {C'} \right\}\\AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow A'C'$ là hình chiếu của $AC'$ trên mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$

$\Rightarrow \angle \left[ {AC',\left( {A'B'C'} \right)} \right] = \angle \left( {AC',A'C'} \right) = \angle A'C'A = {60^0}$

$\Delta A'C'A$ vuông tại $A'$ $\Rightarrow \tan \angle A'C'A = \dfrac{{AA'}}{{A'C'}} \Rightarrow AA' = A'C'.\tan \angle A'C'A = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3$

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$

$\Delta ABC$ đều có $H$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow AH \bot BC$

$\Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right)$

Dễ dàng tính được: ${S_{BCC'B'}} = a.a\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3$ ; $AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Thể tích của khối chóp $A.BCB'C'$ là: ${V_{A.BCB'C'}} = \dfrac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.