Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A.\) Khoảng cách từ
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A.\) Khoảng cách từ đường thẳng \(AA'\) đến mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) và cùng bằng \(1\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(\varphi \). Tính \(\tan \,\varphi \) khi thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) nhỏ nhất.
Đáp án đúng là: D
Xác định khoảng cách giữa \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) là \(d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AH\) với \(AH \bot BC\)
Xác định khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) là \(CK\) với \(CK \bot AC'\)
Tính cạnh \(AB,AC\) theo \(\varphi \), từ đó tính được thể tích khối lăng trụ.
Lập luận, tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối lăng trụ.
Kẻ \(AH \bot BC \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
Vì \(AA'//\left( {BCC'B'} \right)\) nên ta có: \(d\left( {AA',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AH = a\)
Kẻ \(CK \bot AC'\) vì \(AB \bot AC;\,AB \bot AA'\) nên \(AB \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow AB \bot CK \Rightarrow CK \bot \left( {ABC'} \right)\)
Do đó \(d\left( {C,\left( {ABC'} \right)} \right) = CK = 1\)
Ta có: \(AB \bot \left( {ACC'A'} \right)\) nên góc giữa \(\left( {ABC'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\angle CAC' = \varphi \)
Khi đó: \(AC = \dfrac{{CK}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{1}{{\sin \varphi }}; & CC' = \dfrac{{CK}}{{cos\varphi }} = \dfrac{1}{{cos\varphi }}\)
Ta có: \(\dfrac{1}{{A{B^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} - \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{{1^2}}} - \dfrac{{{{\sin }^2}\varphi }}{{{1^2}}} \Rightarrow AB = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\varphi } }}\)
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\varphi } }}.\dfrac{1}{{\sin \varphi }} = \dfrac{1}{{2\sin \varphi \sqrt {1 - {{\sin }^2}\varphi } }}\)
Thể tích lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là:
\({V_{ABC.A'B'C'}} = CC'.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{{\sin 2\varphi \sqrt {1 - {{\sin }^2}\varphi } }} = \dfrac{1}{{2\sin \varphi .co{s^2}\varphi }}\)
Do \({\left( {\sin \varphi .co{s^2}\varphi } \right)^2} = \dfrac{1}{2}.2.{\sin ^2}\varphi .co{s^2}\varphi .co{s^2}\varphi \le \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{{2{{\sin }^2}\varphi + 2co{s^2}\varphi }}{3}} \right)^3}\)
Suy ra \(\sin \varphi .co{s^2}\varphi \le \dfrac{{2\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} \ge \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(2{\sin ^2}\varphi = co{s^2}\varphi \Leftrightarrow \tan \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Vậy khi \(\tan \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) thì thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) nhỏ nhất.
Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
