Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A.$ Khoảng cách từ

Câu hỏi số 528176:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A.$ Khoảng cách từ đường thẳng $AA'$ đến mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$ bằng khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {ABC'} \right)$ và cùng bằng $1$ . Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC'} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng $\varphi$ . Tính $\tan \,\varphi$ khi thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ nhỏ nhất.

$\tan \varphi = \sqrt 2$

$\tan \varphi = \sqrt 3$

$\tan \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

$\tan \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:528176

Phương pháp giải

Xác định khoảng cách giữa $AA'$ và mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$ là $d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AH$ với $AH \bot BC$

Xác định khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {ABC'} \right)$ là $CK$ với $CK \bot AC'$

Tính cạnh $AB,AC$ theo $\varphi$ , từ đó tính được thể tích khối lăng trụ.

Lập luận, tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối lăng trụ.

Giải chi tiết

Kẻ $AH \bot BC \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right)$

Vì $AA'//\left( {BCC'B'} \right)$ nên ta có: $d\left( {AA',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AH = a$

Kẻ $CK \bot AC'$ vì $AB \bot AC;\,AB \bot AA'$ nên $AB \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow AB \bot CK \Rightarrow CK \bot \left( {ABC'} \right)$

Do đó $d\left( {C,\left( {ABC'} \right)} \right) = CK = 1$

Ta có: $AB \bot \left( {ACC'A'} \right)$ nên góc giữa $\left( {ABC'} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc $\angle CAC' = \varphi$

Khi đó: $AC = \dfrac{{CK}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{1}{{\sin \varphi }}; & CC' = \dfrac{{CK}}{{cos\varphi }} = \dfrac{1}{{cos\varphi }}$

Ta có: $\dfrac{1}{{A{B^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} - \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{{1^2}}} - \dfrac{{{{\sin }^2}\varphi }}{{{1^2}}} \Rightarrow AB = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\varphi } }}$

${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\varphi } }}.\dfrac{1}{{\sin \varphi }} = \dfrac{1}{{2\sin \varphi \sqrt {1 - {{\sin }^2}\varphi } }}$

Thể tích lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là:

${V_{ABC.A'B'C'}} = CC'.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{{\sin 2\varphi \sqrt {1 - {{\sin }^2}\varphi } }} = \dfrac{1}{{2\sin \varphi .co{s^2}\varphi }}$

Do ${\left( {\sin \varphi .co{s^2}\varphi } \right)^2} = \dfrac{1}{2}.2.{\sin ^2}\varphi .co{s^2}\varphi .co{s^2}\varphi \le \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{{2{{\sin }^2}\varphi + 2co{s^2}\varphi }}{3}} \right)^3}$

Suy ra $\sin \varphi .co{s^2}\varphi \le \dfrac{{2\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} \ge \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $2{\sin ^2}\varphi = co{s^2}\varphi \Leftrightarrow \tan \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

Vậy khi $\tan \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$ thì thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ nhỏ nhất.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.