Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right) - {\log _2}y = 2x +
Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right) - {\log _2}y = 2x + 2y + xy - 5\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + xy\) bằng
Đáp án đúng là: B
Sử dụng công thức biến đổi logarit: \({\log _a}\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = {\log _a}f\left( x \right) - {\log _a}g\left( x \right)\,\,\left( {dk:\,0 < a \ne 1;\,f\left( x \right) > 0;\,g\left( x \right) > 0} \right)\)
Biến đổi hai vế để sử dụng phương pháp hàm đặc trưng.
Tìm được biểu thức liên hệ giữa \(x\) và \(y\) để thế vào \(P\), tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).
ĐKXĐ: \(\dfrac{{2 - x}}{{2 + x}} > 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {\dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right) - {\log _2}y = 2x + 2y + xy - 5\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2 - x} \right) - {\log _2}\left( {2 + x} \right) - {\log _2}y = \left( {2y + xy} \right) + \left( {2x - 5} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {1 + {{\log }_2}\left( {2 - x} \right)} \right] + \left( {4 - 2x} \right) = {\log _2}\left( {2y + xy} \right) + \left( {2y + xy} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - 2x} \right) + \left( {4 - 2x} \right) = {\log _2}\left( {2y + xy} \right) + \left( {2y + xy} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {\log _2}t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)
Suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Do đó
\(\begin{array}{l}f\left( {4 - 2x} \right) = f\left( {2y + xy} \right) \Rightarrow 4 - 2x = 2y + xy \Rightarrow xy + 2x + 2y = 4\\ \Rightarrow x\left( {y + 2} \right) + 2y = 4 \Rightarrow x = \dfrac{{4 - 2y}}{{y + 2}}\,\left( {dk:\,y \ne - 2} \right)\end{array}\)
Ta có: \(P = {x^2} + {y^2} + xy = {\left( {\dfrac{{4 - 2y}}{{y + 2}}} \right)^2} + {y^2} + y.\left( {\dfrac{{4 - 2y}}{{y + 2}}} \right)\)
Khảo sát hàm \(P\) bằng chức năng MODE 8 (máy tính 580VNX)
Start: \( - 10\)End: \(10\) Step: \(0,5\)
Quan sát thấy tại \(x = 1\) thì \(f\left( x \right)\) có giá trị nhỏ nhất.
Ta khảo sát giá trị của \(f\left( x \right)\) xung quanh giá trị \(x = 1\) để tìm được giá trị min có độ chính xác cao nhất.
ấn AC. Nhập:
Start: \( - 2\)End: \(2\) Step: \(0,2\)
Nhận thấy giá trị min của \(f\left( x \right)\) xấp xí khoảng \(2,0604\)
Ấn từng đáp án ta thấy:
Đáp án A: \(33 - 2\sqrt 2 \approx 1,88\)
Đáp án B: \(36 - 24\sqrt 2 \approx 2,0588\)
Đáp án C: \(30 - 20\sqrt 2 \approx 1,7157\)
Đáp án D: \(25 - 16\sqrt 2 \approx 1,372\)
Do đó kết quả ta khảo sát gần với đáp án B nhất.
Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
