Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn \({\log _2}\left( {\dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right) - {\log _2}y = 2x +

Câu hỏi số 528180:

Vận dụng

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn ${\log _2}\left( {\dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right) - {\log _2}y = 2x + 2y + xy - 5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = {x^2} + {y^2} + xy$ bằng

$33 - 22\sqrt 2$

$36 - 24\sqrt 2$

$30 - 20\sqrt 2$

$24 - 16\sqrt 2$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:528180

Phương pháp giải

Sử dụng công thức biến đổi logarit: ${\log _a}\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = {\log _a}f\left( x \right) - {\log _a}g\left( x \right)\,\,\left( {dk:\,0 < a \ne 1;\,f\left( x \right) > 0;\,g\left( x \right) > 0} \right)$

Biến đổi hai vế để sử dụng phương pháp hàm đặc trưng.

Tìm được biểu thức liên hệ giữa $x$ và $y$ để thế vào $P$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $P$ .

Giải chi tiết

ĐKXĐ: $\dfrac{{2 - x}}{{2 + x}} > 0$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\log _2}\left( {\dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right) - {\log _2}y = 2x + 2y + xy - 5\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2 - x} \right) - {\log _2}\left( {2 + x} \right) - {\log _2}y = \left( {2y + xy} \right) + \left( {2x - 5} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {1 + {{\log }_2}\left( {2 - x} \right)} \right] + \left( {4 - 2x} \right) = {\log _2}\left( {2y + xy} \right) + \left( {2y + xy} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - 2x} \right) + \left( {4 - 2x} \right) = {\log _2}\left( {2y + xy} \right) + \left( {2y + xy} \right)\end{array}$

Xét hàm số $f\left( t \right) = t + {\log _2}t$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$ ta có: $f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)$

Suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$

Do đó

$\begin{array}{l}f\left( {4 - 2x} \right) = f\left( {2y + xy} \right) \Rightarrow 4 - 2x = 2y + xy \Rightarrow xy + 2x + 2y = 4\\ \Rightarrow x\left( {y + 2} \right) + 2y = 4 \Rightarrow x = \dfrac{{4 - 2y}}{{y + 2}}\,\left( {dk:\,y \ne - 2} \right)\end{array}$

Ta có: $P = {x^2} + {y^2} + xy = {\left( {\dfrac{{4 - 2y}}{{y + 2}}} \right)^2} + {y^2} + y.\left( {\dfrac{{4 - 2y}}{{y + 2}}} \right)$

Khảo sát hàm $P$ bằng chức năng MODE 8 (máy tính 580VNX)

Start: $- 10$ End: $10$ Step: $0,5$

Quan sát thấy tại $x = 1$ thì $f\left( x \right)$ có giá trị nhỏ nhất.

Ta khảo sát giá trị của $f\left( x \right)$ xung quanh giá trị $x = 1$ để tìm được giá trị min có độ chính xác cao nhất.

ấn AC. Nhập:

Start: $- 2$ End: $2$ Step: $0,2$

Nhận thấy giá trị min của $f\left( x \right)$ xấp xí khoảng $2,0604$

Ấn từng đáp án ta thấy:

Đáp án A: $33 - 2\sqrt 2 \approx 1,88$

Đáp án B: $36 - 24\sqrt 2 \approx 2,0588$

Đáp án C: $30 - 20\sqrt 2 \approx 1,7157$

Đáp án D: $25 - 16\sqrt 2 \approx 1,372$

Do đó kết quả ta khảo sát gần với đáp án B nhất.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.