Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right) - {\log _2}y = 2x +
Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right) - {\log _2}y = 2x + 2y + xy - 5\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + xy\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng công thức biến đổi logarit: \({\log _a}\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = {\log _a}f\left( x \right) - {\log _a}g\left( x \right)\,\,\left( {dk:\,0 < a \ne 1;\,f\left( x \right) > 0;\,g\left( x \right) > 0} \right)\)
Biến đổi hai vế để sử dụng phương pháp hàm đặc trưng.
Tìm được biểu thức liên hệ giữa \(x\) và \(y\) để thế vào \(P\), tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).
ĐKXĐ: \(\dfrac{{2 - x}}{{2 + x}} > 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {\dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right) - {\log _2}y = 2x + 2y + xy - 5\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2 - x} \right) - {\log _2}\left( {2 + x} \right) - {\log _2}y = \left( {2y + xy} \right) + \left( {2x - 5} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {1 + {{\log }_2}\left( {2 - x} \right)} \right] + \left( {4 - 2x} \right) = {\log _2}\left( {2y + xy} \right) + \left( {2y + xy} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - 2x} \right) + \left( {4 - 2x} \right) = {\log _2}\left( {2y + xy} \right) + \left( {2y + xy} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {\log _2}t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)
Suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Do đó
\(\begin{array}{l}f\left( {4 - 2x} \right) = f\left( {2y + xy} \right) \Rightarrow 4 - 2x = 2y + xy \Rightarrow xy + 2x + 2y = 4\\ \Rightarrow x\left( {y + 2} \right) + 2y = 4 \Rightarrow x = \dfrac{{4 - 2y}}{{y + 2}}\,\left( {dk:\,y \ne - 2} \right)\end{array}\)
Ta có: \(P = {x^2} + {y^2} + xy = {\left( {\dfrac{{4 - 2y}}{{y + 2}}} \right)^2} + {y^2} + y.\left( {\dfrac{{4 - 2y}}{{y + 2}}} \right)\)
Khảo sát hàm \(P\) bằng chức năng MODE 8 (máy tính 580VNX)
Start: \( - 10\)End: \(10\) Step: \(0,5\)
Quan sát thấy tại \(x = 1\) thì \(f\left( x \right)\) có giá trị nhỏ nhất.
Ta khảo sát giá trị của \(f\left( x \right)\) xung quanh giá trị \(x = 1\) để tìm được giá trị min có độ chính xác cao nhất.
ấn AC. Nhập:
Start: \( - 2\)End: \(2\) Step: \(0,2\)
Nhận thấy giá trị min của \(f\left( x \right)\) xấp xí khoảng \(2,0604\)
Ấn từng đáp án ta thấy:
Đáp án A: \(33 - 2\sqrt 2 \approx 1,88\)
Đáp án B: \(36 - 24\sqrt 2 \approx 2,0588\)
Đáp án C: \(30 - 20\sqrt 2 \approx 1,7157\)
Đáp án D: \(25 - 16\sqrt 2 \approx 1,372\)
Do đó kết quả ta khảo sát gần với đáp án B nhất.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
