Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn \({\log _3}\left( {x + y}

Câu hỏi số 528186:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right)\)

A. vô số

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:528186

Phương pháp giải

Đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + 2{y^2} = {4^t}\end{array} \right.\)

Chỉ ra \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ của \(\left( d \right):x + y - {3^t} = 0\) và đường tròn tâm \(O,\) bán kính \(R = {2^t}\)

Xét điều kiện tồn tại giao điểm của đường thẳng và đường tròn: \(d\left( {O,d} \right) \le R\), từ đó chặn được giá trị \(t\) thỏa mãn.

Lập luận: hoành độ giao điểm \(x\) luôn thỏa mãn \( - R \le x \le R \Leftrightarrow - {2^t} \le x \le {2^t}\), từ đó tìm được các giá trị của \(x\) và thử lại để kết luận giá trị \(x\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

Đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + 2{y^2} = {4^t}\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ của \(\left( d \right):x + y - {3^t} = 0\) và đường tròn tâm \(O,\) bán kính \(R = {2^t}\)

Điều kiện tồn tại giao điểm \( \Rightarrow d\left( {O,d} \right) \le R \Leftrightarrow \dfrac{{{3^t}}}{{\sqrt 2 }} \le {2^t} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow t \le {\log _{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 \)

Dễ thấy hoành độ giao điểm \(x\) luôn thỏa mãn \( - R \le x \le R \Leftrightarrow - {2^t} \le x \le {2^t}\)

Mà \(t \le {\log _{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 \Leftrightarrow 0 \le {2^t} \le {2^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 2 \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\)

Với \(x = - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 + {3^t}\\2{y^2} = {4^t} - 1\end{array} \right. \Rightarrow {4^t} - 1 = 2{\left( {1 + {3^t}} \right)^2}\) vô nghiệm

Với \(x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {3^t}\\2{y^2} = {4^t}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {4^t} = 2.{\left( {{3^t}} \right)^2} \Rightarrow t = - 0,85 \Rightarrow y = 0,39\,\left( {tm} \right)\)

Với \(x = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {3^t} - 1\\2{y^2} = {4^t} - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {4^t} - 1 = 2{\left( {{3^t} - 1} \right)^2} \Rightarrow t = 0 \Rightarrow y = 0\,\left( {tm} \right)\)

Vậy \(x \in \left\{ {0;1} \right\}\) là giá trị thỏa mãn.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.