Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho tồn tại số thực $y$ thỏa mãn \({\log _3}\left( {x + y}

Câu hỏi số 528186:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho tồn tại số thực $y$ thỏa mãn ${\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right)$

A. vô số

$2$

$3$

$1$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:528186

Phương pháp giải

Đặt ${\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + 2{y^2} = {4^t}\end{array} \right.$

Chỉ ra $\left( {x;y} \right)$ là tọa độ của $\left( d \right):x + y - {3^t} = 0$ và đường tròn tâm $O,$ bán kính $R = {2^t}$

Xét điều kiện tồn tại giao điểm của đường thẳng và đường tròn: $d\left( {O,d} \right) \le R$ , từ đó chặn được giá trị $t$ thỏa mãn.

Lập luận: hoành độ giao điểm $x$ luôn thỏa mãn $- R \le x \le R \Leftrightarrow - {2^t} \le x \le {2^t}$ , từ đó tìm được các giá trị của $x$ và thử lại để kết luận giá trị $x$ thỏa mãn.

Giải chi tiết

Đặt ${\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + 2{y^2} = {4^t}\end{array} \right.$

Suy ra $\left( {x;y} \right)$ là tọa độ của $\left( d \right):x + y - {3^t} = 0$ và đường tròn tâm $O,$ bán kính $R = {2^t}$

Điều kiện tồn tại giao điểm $\Rightarrow d\left( {O,d} \right) \le R \Leftrightarrow \dfrac{{{3^t}}}{{\sqrt 2 }} \le {2^t} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow t \le {\log _{\frac{3}{2}}}\sqrt 2$

Dễ thấy hoành độ giao điểm $x$ luôn thỏa mãn $- R \le x \le R \Leftrightarrow - {2^t} \le x \le {2^t}$

Mà $t \le {\log _{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 \Leftrightarrow 0 \le {2^t} \le {2^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 2 \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}$

Với $x = - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 + {3^t}\\2{y^2} = {4^t} - 1\end{array} \right. \Rightarrow {4^t} - 1 = 2{\left( {1 + {3^t}} \right)^2}$ vô nghiệm

Với $x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {3^t}\\2{y^2} = {4^t}\end{array} \right.$

$\Rightarrow {4^t} = 2.{\left( {{3^t}} \right)^2} \Rightarrow t = - 0,85 \Rightarrow y = 0,39\,\left( {tm} \right)$

Với $x = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {3^t} - 1\\2{y^2} = {4^t} - 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow {4^t} - 1 = 2{\left( {{3^t} - 1} \right)^2} \Rightarrow t = 0 \Rightarrow y = 0\,\left( {tm} \right)$

Vậy $x \in \left\{ {0;1} \right\}$ là giá trị thỏa mãn.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.