Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a;\,AD = 2a.\) Hình

Câu hỏi số 528188:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a;\,AD = 2a.\) Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng đáy là trung điểm \(H\) của \(AD,\) góc giữa \(SB\) và mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là \({45^o}.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SD\) và \(BH\) theo \(a\).

A. \(a\sqrt {\dfrac{2}{5}} \)

B. \(\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)

C. \(\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)

D. \(a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:528188

Phương pháp giải

Xác định góc giữa \(SB\) và mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\angle SBH = {45^o}\)

Chọn một mặt phẳng chứa \(SD\) và song song với \(BH\), đưa khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BH\) và \(SD\) về khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.

Giải chi tiết

Do \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa \(SB\) và mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\angle SBH = {45^o}\)

Ta có \(\Delta SBH\) vuông cân tại \(H\) nên \(SH = BH = a\sqrt 2 \)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC,\) ta có \(BH//DK \Rightarrow BH//\left( {SDK} \right)\)

Suy ra \(d\left( {BH,SD} \right) = d\left( {BH,\left( {SDK} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SDK} \right)} \right)\)

Tứ diện \(SHDK\) vuông tại \(H\) nên \(\dfrac{1}{{{d^2}\left( {H;\left( {SDK} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{{H{S^2}}} + \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{5}{{2{a^2}}}\)

Vậy \(d\left( {BH,SD} \right) = d\left( {H,\left( {SDK} \right)} \right) = a\sqrt {\dfrac{2}{5}} \)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.