Cho \(\Delta ABC\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\) cố

Câu hỏi số 528292:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\) cố định, điểm \(D\) bất kì thuộc cung nhỏ \(AC\)\(\left( {D \ne A,\,\,D \ne C} \right).\) Tia \(BA\) cắt tia \(CD\) tại điểm \(G.\) Điểm \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC.\) Kẻ \(AE\) vuông góc với \(BC\) tại điểm \(E,\) đường thẳng \(AE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(F.\) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên \(BD,\,\,K\) là giao điểm của \(BC\) và \(DF.\) Chứng minh:

a) Tứ giác \(AIDG\) nội tiếp đường tròn.

b) \(BE.BC = BH.BI.\)

c) Ba điểm \(G,\,\,I,\,\,K\) thẳng hàng.

d) Đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AKD\) luôn đi qua một điểm cố định khác \(A\) khi điểm \(D\) di động trên cung nhỏ \(AC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:528292

Phương pháp giải

a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp: chứng minh \(\angle GAI + \angle GDI = {180^0}\)\(\angle ABC\) là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: \(\angle BHE = \angle BCI\); \( \Rightarrow BE.BC = BH.BI\,\,\)

c) Chứng minh: \(IK \bot BC\) và \(GI \bot BC\)\( \Rightarrow G,\,\,I,\,\,K\) thằng hàng.

d) Chứng minh: \(\angle OAB = \angle CKD = \dfrac{1}{2}\,\,sd\,\,cung\,\,AC\)

\( \Rightarrow OKDA\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

\( \Rightarrow \) Đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AKD\) đi qua điểm \(O\) cố định.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\angle BAC,\)\(\angle BDC\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow \angle BAC = \angle BDC = {90^0}.\)

\( \Rightarrow \angle GAI = \angle GDI = {90^0}\)

Xét tứ giác \(AIDG\) ta có: \(\angle GAI + \angle GDI = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\(\angle ABC\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b) Xét tứ giác \(ABEH\) ta có: \(\angle AEB = \angle AHB = {90^0}\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow ABEH\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau)

\( \Rightarrow \angle BHE = \angle BAE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BE\))

Mà \(\angle BAE = \angle BCA\) (hai góc cùng phụ \(\angle ABC\))

\( \Rightarrow \angle BHE = \angle BCA = \angle BCI\)

Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta BCI\) có:

c) Ta có: \(BC \bot AF \Rightarrow \,\,cung\,\,AB = cung\,\,FB\) (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua điểm ở chính giữa của cung căng dây đó).

\( \Rightarrow \angle BDF = \angle BCA\) (hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau).

Hay \(\angle IDK = \angle ICK\)

\( \Rightarrow CDJK\) là tức giác nội tiếp. (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau)

\( \Rightarrow \angle IKC + \angle IDC = {180^0}\). Mà \(\angle IDC = \angle BDC = {90^0}\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \angle IKC = {90^0} \Rightarrow IK \bot BC\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta GBC\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BG\\BD \bot CG\\AC \cap BD = \left\{ I \right\}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I\) là trực tâm \(\Delta GBC\) \( \Rightarrow GI \bot BC\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow G,\,\,I,\,\,K\) thằng hàng. (đpcm)

d) Ta có: \(OA = \dfrac{1}{2}BC = OB\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow \angle OAB = \angle OBA = \angle ABC = \dfrac{1}{2}\,\,sd\,\,cung\,\,AC\) \(\left( 3 \right)\)

Lại có: \(\angle CKD = \dfrac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,CD + sd\,\,cng\,\,BF} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,CD + sd\,\,cung\,\,AB} \right)\)

Vì \(OH \bot BD\,\,\left( {gt} \right)\)\( \Rightarrow cung\,\,AB = cung\,\,AD\)

\( \Rightarrow \angle CKD = \dfrac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,CD + \,sd\,\,cung\,\,AD} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}sd\,\,cung\,\,AC\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) \( \Rightarrow \angle OAB = \angle CKD\)

\( \Rightarrow OKDA\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

\( \Rightarrow \) Đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AKD\) đi qua điểm \(O\) cố định. (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link