Cho ba số thực \(x,\,\,y,\,\,z\) thay đổi thỏa mãn các điều kiện \(x > \dfrac{1}{4},\,\,y >

Câu hỏi số 530980:

Vận dụng cao

Cho ba số thực \(x,\,\,y,\,\,z\) thay đổi thỏa mãn các điều kiện \(x > \dfrac{1}{4},\,\,y > \dfrac{1}{3},\,\,z > \dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{4}{{4x + 3}} + \dfrac{3}{{3y + 2}} + \dfrac{2}{{2z + 1}} \ge 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = \left( {4x - 1} \right)\left( {3y - 1} \right)\left( {2z - 1} \right)\).

A. \({Q_{\max }} = 9\) khi \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{6};\dfrac{1}{2}} \right)\)

B. \({Q_{\max }} = 9\) khi \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{6};1} \right)\)

C. \({Q_{\max }} = 3\) khi \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{6};\dfrac{1}{2}} \right)\)

D. \({Q_{\max }} = 3\) khi \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{6};1} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:530980

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, chứng minh được:\(\dfrac{4}{{4x + 3}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{3y - 1}}{{3y + 2}}.\dfrac{{2z - 1}}{{2z + 1}}} \);\(\dfrac{3}{{3y + 2}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{4x - 1}}{{4x + 3}}.\dfrac{{2z - 1}}{{2z + 1}}} \); \(\dfrac{2}{{2z + 1}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{4x - 1}}{{4x + 3}}.\dfrac{{3y - 1}}{{3y + 2}}} \)

Nhân vế theo vế 3 BĐT trên ta được điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{4}{{4x + 3}} + \dfrac{3}{{3y + 2}} + \dfrac{2}{{2z + 1}} \ge 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{4x + 3}} \ge \left( {1 - \dfrac{3}{{3y + 2}}} \right) + \left( {1 - \dfrac{2}{{2z + 1}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{4x + 3}} \ge \dfrac{{3y - 1}}{{3y + 2}} + \dfrac{{2z - 1}}{{2z + 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{4x + 3}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{3y - 1}}{{3y + 2}}.\dfrac{{2z - 1}}{{2z + 1}}} \,\,\left( {BDT\,\,Co - si} \right)\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\dfrac{3}{{3y + 2}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{4x - 1}}{{4x + 3}}.\dfrac{{2z - 1}}{{2z + 1}}} ;\,\,\dfrac{2}{{2z + 1}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{4x - 1}}{{4x + 3}}.\dfrac{{3y - 1}}{{3y + 2}}} \)

Nhân vế theo vế 3 BĐT trên ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{4}{{4x + 3}}.\dfrac{3}{{3y + 2}}.\dfrac{2}{{2z + 1}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{3y - 1}}{{3y + 2}}.\dfrac{{2z - 1}}{{2z + 1}}} .2\sqrt {\dfrac{{4x - 1}}{{4x + 3}}.\dfrac{{2z - 1}}{{2z + 1}}} .2\sqrt {\dfrac{{4x - 1}}{{4x + 3}}.\dfrac{{3y - 1}}{{3y + 2}}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{4x + 3}}.\dfrac{3}{{3y + 2}}.\dfrac{2}{{2z + 1}} \ge 8\dfrac{{4x - 1}}{{4x + 3}}.\dfrac{{3y - 1}}{{3y + 2}}.\dfrac{{2z - 1}}{{2z + 1}}\\ \Leftrightarrow 24 \ge 8Q \Leftrightarrow Q \le 3\end{array}\)

Vậy \({Q_{\max }} = 3\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left( {x;y;z} \right) = \left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{6};1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link