Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\), các đường cao \(BD,\,\,CE\) \(\left( {D \in AC,\,\,E

Câu hỏi số 532017:

Vận dụng cao

Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\), các đường cao \(BD,\,\,CE\) \(\left( {D \in AC,\,\,E \in AB} \right)\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \(BEDC\) nội tiếp.

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Đường tròn đường kính \(AH\) cắt \(AM\) tại điểm \(G\) (\(G\) khác \(A\)). Chứng minh rằng \(AE.AB = AG.AM\)

c) Hai đường thẳng \(DE\) và \(BC\) cắt nhau tại \(K\). Chứng minh rằng \(\angle MAC = \angle GCM\) và hai đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(MBE,MCD\) song song với đường thẳng \(KG\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532017

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

b) + Chứng minh được: \(\angle ABC = \angle AGE\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE\))

+ Chứng minh: \(\Delta ABM \sim \Delta AGE\,\,\,\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow AE.AB = AG.AM\)

c) + Chứng minh được: Đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(MBE,MCD\) là đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác \(GDCM\) và \(EBMG\), suy ra đường nối tâm vuông góc với \(GM\,\,\left( * \right)\)

Gọi \(\left\{ F \right\} = AH \cap BC\)

Chứng minh: \(\angle BAC = \angle DFM\), \(\angle EDH = \angle EAH\), \(\angle HDM = \angle HAD\) từ đó, suy ra \(\angle EDM = \angle KDM\)

Chứng minh: \(AGFK\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

\( \Rightarrow \angle AFK = \angle AGK = {90^0}\)

\( \Rightarrow \)\(KG \bot GM\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(MBE,MCD\) song song với \(KG\) (đpcm)

Giải chi tiết

a) Ta có: \(BD,\,\,CE\) là các đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\CE \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \angle BDC = \angle BEC = {90^0}\)

\( \Rightarrow BEDC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau).

b) Ta có: \(\angle AEH = \angle ADH = {90^0} \Rightarrow \angle AEH + \angle ADH = {180^0}\)

\( \Rightarrow AEHD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\) (định nghĩa)

Mà đường tròn đường kính \(AH\) cắt \(AM\) tại \(G\).

\( \Rightarrow \) Năm điểm \(A,E,H,G,D\) cùng thuộc một đường tròn.

\( \Rightarrow \angle AGE = \angle ADE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE\))

Mà \(\angle ABC = \angle ADE\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(BEDC\))

\( \Rightarrow \angle ABC = \angle AGE\).

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta AGE\) có: \(\angle ABC = \angle AGE\) (cmt); \(\angle BAM\) chung.

\( \Rightarrow \Delta ABM \sim \Delta AGE\,\,\,\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AM}} = \dfrac{{AG}}{{AB}}\) (2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow AE.AB = AG.AM\) (đpcm)

c) Ta có \(\angle AGD = \angle AED\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD\))

Mà \(\angle AED = \angle ACB\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(BEDC\))

\( \Rightarrow \angle AGD = \angle ACB = \angle DCM\).

Lại có \(\angle AGD + \angle DGM = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \angle DGM + \angle DCM = {180^0}\).

\( \Rightarrow GDCM\) là tứ giác nội tiếp (dhnb) \( \Rightarrow \angle MGC = \angle MDC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MC\)).

Lại có \(DM = \dfrac{1}{2}BC = MC\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) \( \Rightarrow \Delta MCD\) cân tại \(M\).

\( \Rightarrow \angle MDC = \angle MCD\) (2 góc ở đáy của tam giác cân).

\( \Rightarrow \angle MGC = \angle MCD = \angle MCA\).

Xét \(\Delta GCM\) và \(\Delta CAM\) có: \(\angle AMC\) chung ; \(\angle MAC = \angle GCM\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta GCM \sim \Delta CAM\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \angle MAC = \angle GCM\) (2 góc tương ứng (đpcm).

Ta có \(\angle ABC = \angle AGE\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(EBMG\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

\( \Rightarrow \) Đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(MBE,MCD\) là đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác \(GDCM\) và \(EBMG\).

Giao của hai tứ giác \(GDCM\) và \(EBMG\) là \(GM\).

\( \Rightarrow \) Đường nối tâm vuông góc với \(GM\,\,\left( * \right)\)

Gọi \(\left\{ F \right\} = AH \cap BC\) \( \Rightarrow AF \bot BC \Rightarrow \angle AFB = {90^0}\).

Mà \(\angle BDA = {90^0}\) \( \Rightarrow ADFB\) nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle BAC = \angle DFM\) (1) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Mà \(\angle EDH = \angle EAH\)(2) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EH\)).

\(\angle HDM = \angle HBM = \angle DBM\) (\(DM\) là trung tuyến của \(\Delta BDC\) vuông tại \(D\) nên \(DM = \dfrac{1}{2}BC = BM\)).

\(\angle DBM = \angle HAD\) (Cùng phụ \(\angle ACB\))

\( \Rightarrow \angle HDM = \angle HAD\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

\(\angle EDM = \angle EDH + \angle HDM = \angle EAH + \angle HAD = \angle BAC = \angle DFM = \angle KDM\)

Xét \(\Delta FDM\) và \(\Delta DKM\) có: \(\angle KMD\) chung; \(\angle DFM = \angle KDM\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta FDM \sim \Delta DKM\,\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{MD}}{{KM}} = \dfrac{{FM}}{{MD}} \Rightarrow M{D^2} = FM.KM\)

Có: \(\Delta GCM \sim \Delta CAM\,\,\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{AM}} = \dfrac{{GM}}{{MC}} \Rightarrow M{C^2} = MG.MA\)

Mà \(MD = MC\)(cmt) \( \Rightarrow FM.KM = MG.MA \Rightarrow \dfrac{{FM}}{{GM}} = \dfrac{{MA}}{{MK}}\)

\( \Rightarrow \Delta FGM \sim \Delta AKM\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow \angle FGM = \angle AKM\) (2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow AGFK\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

\( \Rightarrow \angle AFK = \angle AGK = {90^0}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AK\)) \( \Rightarrow KG \bot AG\) hay \(KG \bot GM\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(MBE,MCD\) song song với \(KG\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link