Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\)(\(B,C\) là

Câu hỏi số 532141:

Vận dụng cao

Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\)(\(B,C\) là tiếp điểm). Kẻ cát tuyến \(AEF\) không đi qua tâm (\(E\) nằm giữa \(A\) và \(F\);\(O\) và \(B\) nằm về hai phía so với cát tuyến ). Gọi \(K\)là trung điểm của \(EF\).

a) Chứng minh tứ giác \(OBAC\) nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh \(KA\) là phân giác của \(\angle BKC\).

c) Kẻ dây \(ED\) vuông góc \(OB\) sao cho \(ED\) cắt \(BC\) tại \(M\). Chứng minh \(FM\) đi qua trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532141

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Ta sẽ chứng minh:

c) Gọi \(J\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC\)

Gọi I là giao điểm của \(FM\) và \(AB\). Ta sẽ chứng minh \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Giải chi tiết

a) Ta có: \(AB,AC\) là tiếp tuyến của đường tròn nên \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot AB\\OC \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle ABO = {90^0}\\\angle ACO = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle ABO + \angle ACO = {180^0}\)

\( \Rightarrow OBAC\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AO\) (dhnb).

b) Vì \(AB,AC\) là tiếp tuyến của đường tròn nên \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có \(K\) là trung điểm của \(EF\) nên \(OK \bot AK\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\( \Rightarrow \angle OKA = {90^0}\) \( \Rightarrow K\) thuộc đường tròn đường kính \(AO\) hay 5 điểm \(O,\,\,K,\,\,B,\,\,A,\,\,C\) cùng thuộc một đường tròn.

(góc chắn hai cung bằng nhau)

Vậy \(KA\) là phân giác của \(\angle BKC\).

c) Gọi \(J\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC\)

Gọi I là giao điểm của \(FM\) và \(AB\). Ta sẽ chứng minh \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Xét tam giác \(ABJ\) và \(AKB\) ta có:

\(\angle BAK\) chung

\(\angle ABJ = \angle BKA\,\,\left( { = \angle ACB} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABJ\) đồng dạng với \(\Delta AKB\) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{{AJ}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AK}}\) (cặp cạnh tương ứng) \( \Rightarrow A{B^2} = AJ.AK\)

Tương tự ta có: \(\Delta ABE\) đồng dạng với \(\Delta AFB\) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AF}} = \dfrac{{AE}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AE.AF\)

\( \Rightarrow AJ.AK = AE.AF \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AJ}} = \dfrac{{AK}}{{AE}} = \dfrac{{AF - AK}}{{AJ - AE}} = \dfrac{{FK}}{{EJ}} = \dfrac{{EK}}{{EJ}}\) (Vì \(K\) là trung điểm của \(EF\)) \( \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{EK}} = \dfrac{{AJ}}{{EJ}}\).

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}EM \bot OB\,\,\left( {gt} \right)\\OB \bot AB\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow EM//AB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{EM}} = \dfrac{{AJ}}{{EJ}}\\\dfrac{{AI}}{{EM}} = \dfrac{{AF}}{{EF}}\end{array} \right.\) (Định lí Ta-lét)

\( \Rightarrow \dfrac{{AI}}{{EM}} = \dfrac{{AF}}{{2EK}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AJ}}{{EJ}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AB}}{{EM}} \Rightarrow AI = \dfrac{{AB}}{2}\).

Vậy \(I\) là trung điểm của \(AB\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link