Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\), dây cung \(MN\) vuông góc với \(AB\) tại

Câu hỏi số 532575:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\), dây cung \(MN\) vuông góc với \(AB\) tại \(I\) sao cho \(AI < BI\). Trên đoạn thẳng \(MI\) lấy điểm \(H\) (\(H\) khác \(M\) và \(I\)), tia \(AH\) cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại điểm thứ hai là \(K\). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(BIHK\) nội tiếp đường tròn.

b) \(\Delta AHM\) đồng dạng với \(\Delta AMK\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532575

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Ta sẽ chứng minh

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABM\), ta có:\(BI.BA = B{M^2}\)

Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác vuông \(A{M^2} + B{M^2} = A{B^2} = 4{R^2}\)

\( \Rightarrow AH.AK + BI.AB = 4{R^2}\) (đpcm)

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle AKB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle BKH = {90^0}\).

Xét tứ giác \(BIHK\) có: \(\angle BIH + \angle BKH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên \(BIHK\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Ta có: \(\angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\( \Rightarrow \angle AMH + \angle BMH = {90^0} \Rightarrow \angle AMH + \angle ABM = {90^0}\).

Lại có \(\angle ABM = \angle AKM\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\)) \( \Rightarrow \angle AMH = \angle AKM\).

Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta AMK\) có: .

c) Vì (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow AH.AK = A{M^2}\).

Xét tam giác vuông \(ABM\) có đường cao \(MI\) ta có: \(BI.BA = B{M^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\( \Rightarrow AH.AK + BI.AB = A{M^2} + B{M^2}\).

Mà \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\,\,\left( {cmt} \right)\) nên áp dụng định lí Pytago ta có \(A{M^2} + B{M^2} = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\).

Vậy \(AH.AK + BI.AB = 4{R^2}\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link