Tứ diện \(ABCD\) có \(ABC\) là tam giác đều. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và
Tứ diện \(ABCD\) có \(ABC\) là tam giác đều. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(60^\circ \) . Hình cầu tâm \(O\)bán kính bằng 1 tiếp xúc\(AB,AC\), và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(H\) nằm trong tam giác\(ABC\). Biết rằng \(O\) thuộc đường thẳng \(DH\) và \(DH = \dfrac{{AB}}{2}\). Tính thể tích tứ diện \(ABCD\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Xác định góc giữa \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {DBC} \right)} \right)\) là góc \(\angle DNH\) với \(N\) là trung điểm của\(BC\).
Đặt \(AB = x\), từ đó biểu diễn độ dài các đoạn thẳng \(DH,AN,HN,OH,OD\) theo \(x\).
Chỉ ra \(N\) là trọng tâm tam giác\(ABC\) và \(N\) là tiếp điểm của mặt cầu với \(\left( {BCD} \right)\).
Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện \(ABCD:\,{V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.DH.{S_{ABC}}\)
Gọi \(N\) là trung điểm của\(BC\).
Kẻ \(OM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\); \(OP\) vuông góc với \(AC\)tại \(P\)\( \Rightarrow OM = OP = 1\)
\( \Rightarrow HM = HP \Rightarrow H\) cách đều \(AB,AC \Rightarrow H \in AN.\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {DBC} \right)} \right) = \angle DNH = 60^\circ \)
Đặt \[AB = x \Rightarrow DH = \frac{x}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HN = \frac{{DH}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{x\sqrt 6 }}{3}\\DN = \sqrt {D{H^2} + H{N^2}} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\]
Lại có: \(AN = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HN = \frac{1}{3}AN \Rightarrow N\) là trọng tâm tam giác\(ABC\).
Ta có: \(AB \bot \left( {OHM} \right) \Rightarrow AB \bot HM \Rightarrow M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow HM = HN \Rightarrow OM = ON\)
\( \Rightarrow ON = 1 \Rightarrow N\) là tiếp điểm của mặt cầu với \(\left( {BCD} \right)\).
\[ \Rightarrow OH = \sqrt {O{N^2} - N{H^2}} = \frac{1}{6}\sqrt {36 - 3{x^2}} \]
Lại có: \[OD = \sqrt {O{N^2} + N{D^2}} = \frac{1}{3}\sqrt {9 + 3{x^2}} \]\[ \Rightarrow \frac{x}{2} + \frac{1}{6}\sqrt {36 - 3{x^2}} = \frac{1}{3}\sqrt {9 + 3{x^2}} \Leftrightarrow x = 3\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DH = \frac{3}{2}\\{S_{ABC}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}DH.{S_{ABC}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{8}\]
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
