So sánh: \(A = \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots +

Câu hỏi số 535611:

Vận dụng

So sánh: \(A = \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}}\) và \(\dfrac{3}{4}\).

A. \(A < \dfrac{3}{4}\)

B. \(A > \dfrac{3}{4}\)

C. \(A = \dfrac{3}{4}\)

D. Không có đáp án đúng

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535611

Phương pháp giải

Để chứng minh ta giữ nguyên 1 phân số. Sau đó, các số hạng của tổng đó ta thay bằng phân số lớn hơn hoặc nhỏ hơn (kết hợp với các phương pháp nhóm hạng tử)

Giải chi tiết

Ta có: \(A = \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}}\)\( = \dfrac{1}{{2.2}} + \dfrac{1}{{3.3}} + \dfrac{1}{{4.4}} + \ldots + \dfrac{1}{{100.100}}\)

\(\left. \begin{array}{l}\dfrac{1}{{3.3}} < \dfrac{1}{{2.3}}\\\,\dfrac{1}{{4.4}} < \dfrac{1}{{3.4}}\\ \ldots \\\dfrac{1}{{100.100}} < \dfrac{1}{{99.100}}\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow A = \dfrac{1}{{2.2}} + \dfrac{1}{{3.3}} + \dfrac{1}{{4.4}} + \ldots + \dfrac{1}{{100.100}} < \dfrac{1}{{2.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + \ldots + \dfrac{1}{{99.100}}\)

Đặt \(B = \dfrac{1}{{2.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + \ldots + \dfrac{1}{{99.100}}\). Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{1}{{2.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + \ldots + \dfrac{1}{{99.100}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \ldots + \dfrac{1}{{99}} - \dfrac{1}{{100}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{100}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} - \dfrac{1}{{100}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{{100}}\\ \Rightarrow B < \dfrac{3}{4}\end{array}\)

Mà \(A < B\) suy ra \(A < \dfrac{3}{4}\).

Vậy \(A = \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} < \dfrac{3}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link