Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm

Câu hỏi số 535986:

Vận dụng

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,\,A'C',\,\,BB'\). Gọi \({V_1}\) là thể tích khối đa diện \(CMNP\). Tính \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\).

A. \(\dfrac{1}{6}\)

B. \(\dfrac{1}{8}\)

C. \(\dfrac{5}{{48}}\)

D. \(\dfrac{7}{{48}}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:535986

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Giải chi tiết

Để bài toán đơn giản hơn ta giả sử \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh 2 \( \Rightarrow V = 8\).

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: \(A\left( {0;0;0} \right),\,\,B\left( {2;0;0} \right),\,\,A'\left( {0;0;2} \right);\,\,C'\left( {2;2;2} \right),\,\,B'\left( {2;0;2} \right)\), \(C\left( {2;2;0} \right)\).

\(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,A'C',\,\,BB'\) nên \(M\left( {1;0;0} \right),\,\,N\left( {1;1;2} \right)\), \(P\left( {2;0;1} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {CM} = \left( { - 1; - 2;0} \right),\,\,\overrightarrow {CN} = \left( { - 1; - 1;2} \right),\,\,\overrightarrow {CP} = \left( {0; - 2;1} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {CN} } \right] = \left( { - 4;2; - 1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {CN} } \right].\overrightarrow {CP} = 0 - 4 - 1 = - 5\).

\( \Rightarrow {V_{CMNP}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {CN} } \right].\overrightarrow {CP} } \right| = \dfrac{5}{6} = {V_1}\).

Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{5}{6}:8 = \dfrac{5}{{48}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.