Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) là các điểm lần lượt di động

Câu hỏi số 535987:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) là các điểm lần lượt di động trên các đoạn thẳng \(AC,\,\,B'D'\) sao cho \(AM = 2D'N\). Khối tứ diện \(AMNB'\) có thể tích lớn nhất bằng:

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:535987

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({V_{AMNB'}} = \dfrac{1}{6}AM.B'N.\sin \angle \left( {AM;B'N} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có \({V_{AMNB'}} = \dfrac{1}{6}AM.B'N.\sin \angle \left( {AM;B'N} \right)\).

Ta có \(\angle \left( {AM;B'N} \right) = \angle \left( {AC;B'D'} \right) = {90^0}\) \( \Rightarrow \sin \angle \left( {AM;B'N} \right) = 1\).

Đặt \(AM = 2x\,\,\left( {0 < 2x < a\sqrt 2 } \right) \Rightarrow D'N = x\) \( \Rightarrow B'N = a\sqrt 2 - x\).

\( \Rightarrow {V_{AMNB'}} = \dfrac{1}{6}2x.\left( {a\sqrt 2 - x} \right) = \dfrac{1}{3}\left( { - {x^2} + a\sqrt 2 x} \right)\).

Hàm số \(y = - {x^2} + a\sqrt 2 x\) dặt GTLN tại \(x = - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2.\left( { - 1} \right)}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) nên \(\max {V_{AMNB'}} = \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{2}{a^2} + a\sqrt 2 .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right) = \dfrac{{{a^3}}}{6}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.