Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Gọi $M,\,\,N$ là các điểm lần lượt di động

Câu hỏi số 535987:

Vận dụng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Gọi $M,\,\,N$ là các điểm lần lượt di động trên các đoạn thẳng $AC,\,\,B'D'$ sao cho $AM = 2D'N$ . Khối tứ diện $AMNB'$ có thể tích lớn nhất bằng:

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$

$\dfrac{{{a^3}}}{6}$

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$

$\dfrac{{{a^3}}}{3}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535987

Phương pháp giải

Sử dụng công thức ${V_{AMNB'}} = \dfrac{1}{6}AM.B'N.\sin \angle \left( {AM;B'N} \right)$ .

Giải chi tiết

Ta có ${V_{AMNB'}} = \dfrac{1}{6}AM.B'N.\sin \angle \left( {AM;B'N} \right)$ .

Ta có $\angle \left( {AM;B'N} \right) = \angle \left( {AC;B'D'} \right) = {90^0}$ $\Rightarrow \sin \angle \left( {AM;B'N} \right) = 1$ .

Đặt $AM = 2x\,\,\left( {0 < 2x < a\sqrt 2 } \right) \Rightarrow D'N = x$ $\Rightarrow B'N = a\sqrt 2 - x$ .

$\Rightarrow {V_{AMNB'}} = \dfrac{1}{6}2x.\left( {a\sqrt 2 - x} \right) = \dfrac{1}{3}\left( { - {x^2} + a\sqrt 2 x} \right)$ .

Hàm số $y = - {x^2} + a\sqrt 2 x$ dặt GTLN tại $x = - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2.\left( { - 1} \right)}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$ nên $\max {V_{AMNB'}} = \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{2}{a^2} + a\sqrt 2 .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right) = \dfrac{{{a^3}}}{6}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.