Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\). Trong các mệnh đề sau,

Câu hỏi số 535988:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI?

A. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn trên tập xác định.

C. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ trên tập xác định.

D. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên tập xác định.

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:535988

Phương pháp giải

- Hàm số \(y = \ln f\left( x \right)\) xác định khi \(f\left( x \right) > 0\).

- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có TXĐ D.

+ Hàm số là hàm số chẵn trên TXĐ nếu \(\left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

+ Hàm số là hàm số lẻ trên TXĐ nếu \(\left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} + 1} > 0\\{x^2} + 1 \ge 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\).

Ta có \(\sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| \ge - x \Rightarrow x + \sqrt {{x^2} + 1} > 0\,\,\forall x\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

Khi đó \(\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow - x \in \mathbb{R}\). Ta có

\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = \ln \left( { - x + \sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1} } \right) = \ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\\ = \ln \dfrac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = \ln \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = - \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = - f\left( x \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng và B sai.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.