Một hình nón có chiều cao \(h = 4\), độ dài đường sinh \(l = 5\). Một mặt phẳng đi qua đỉnh

Câu hỏi số 535989:

Vận dụng

Một hình nón có chiều cao \(h = 4\), độ dài đường sinh \(l = 5\). Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng \(2\sqrt 5 \). Khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng đó bằng:

A. \(\dfrac{4}{5}\)

B. \(\dfrac{{4\sqrt 5 }}{5}\)

C. \(2\sqrt 2 \)

D. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{4}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:535989

Phương pháp giải

- Giả sử hình nón có đỉnh S tâm mặt đáy O và mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt đường tròn đáy theo một dây cung \(AB = 2\sqrt 5 \). Gọi M là trung điểm của AB. Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\). Chứng minh \(OH \bot \left( {SAB} \right)\)

- Sử dụng định lí Pytago, tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Giả sử hình nón có đỉnh S tâm mặt đáy O và mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt đường tròn đáy theo một dây cung \(AB = 2\sqrt 5 \).

Gọi M là trung điểm của AB. Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\).

Ta có \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SO\\AB \bot OM\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow AB \bot OH\\\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH\).

Bán kính đáy hình nón là \(OA = \sqrt {{l^2} - {h^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(OM = \sqrt {O{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} = 2\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(OH = \dfrac{{SO.OM}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \dfrac{{4.2}}{{\sqrt {16 + 4} }} = \dfrac{{4\sqrt 5 }}{5}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.