Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ: Đặt

Câu hỏi số 535990:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ:

Đặt \(g\left( x \right) = {x^2} - 4x + f\left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 6} } \right)\). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;4} \right]\) là:

A. \(18\)

B. \(8\)

C. \(2\)

D. \(14\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:535990

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x + 6} \), tìm khoảng giá trị \(\left[ {a;b} \right]\) của \(t\).

- Khi đó yêu cầu bài toán trở thành tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( t \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\).

- Dựa vào đồ thị hàm số xác định hàm \(y = f\left( x \right)\), từ đó suy ra dạng cụ thể của hàm số \(g\left( t \right)\).

- Áp dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x + 6} \) với \(x \in \left[ {1;4} \right]\).

Ta có \(t' = \dfrac{{2x - 4}}{{2\sqrt {{x^2} - 4x + 6} }} = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 6} }}\). Cho \(t' = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ {1;4} \right]\).

Ta có \(t\left( 1 \right) = \sqrt 3 ,\,\,t\left( 2 \right) = \sqrt 2 ,\,\,t\left( 4 \right) = \sqrt 6 \).

Suy ra với \(x \in \left[ {1;4} \right]\) thì \(t \in \left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 6 } \right]\).

Khi đó yêu cầu bài toán trở thành tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( t \right) = {t^2} - 6 + f\left( t \right)\) trên \(\left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 6 } \right]\).

Ta có \(g'\left( t \right) = 2t + f'\left( t \right)\).

Ta đi tìm hàm số \(f\left( x \right)\). Dựa vào đồ thị \( \Rightarrow f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx\).

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đi qua các điểm \(\left( { - 1; - 4} \right),\,\,\left( {0; - 3} \right),\,\,\left( {1; - 4} \right)\) và có 3 điểm cực trị \(x = 0,\,\,x = \pm 1\) nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = - 4\\c = - 3\\4a + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = - 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} - 3\\f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( t \right) = {t^4} - 2{t^2} - 3\\f'\left( t \right) = 4{t^3} - 4t\end{array} \right.\).

Khi đó \(g'\left( t \right) = 2t + 4{t^3} - 4t = 4{t^3} - 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \notin \left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 6 } \right]\\t = \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \notin \left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 6 } \right]\end{array} \right.\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( {\sqrt 2 } \right) = 2 - 6 + f\left( {\sqrt 2 } \right) = - 4 - 3 = - 7\\g\left( {\sqrt 6 } \right) = 6 - 6 + f\left( {\sqrt 6 } \right) = 21\end{array} \right.\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) = - 7,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) = 21 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) + \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) = 14\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.