Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ: Đặt

Câu hỏi số 535990:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ:

Đặt $g\left( x \right) = {x^2} - 4x + f\left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 6} } \right)$ . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left[ {1;4} \right]$ là:

$18$

$8$

$2$

$14$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535990

Phương pháp giải

- Đặt $t = \sqrt {{x^2} - 4x + 6}$ , tìm khoảng giá trị $\left[ {a;b} \right]$ của $t$ .

- Khi đó yêu cầu bài toán trở thành tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( t \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$ .

- Dựa vào đồ thị hàm số xác định hàm $y = f\left( x \right)$ , từ đó suy ra dạng cụ thể của hàm số $g\left( t \right)$ .

- Áp dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.

Giải chi tiết

Đặt $t = \sqrt {{x^2} - 4x + 6}$ với $x \in \left[ {1;4} \right]$ .

Ta có $t' = \dfrac{{2x - 4}}{{2\sqrt {{x^2} - 4x + 6} }} = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 6} }}$ . Cho $t' = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ {1;4} \right]$ .

Ta có $t\left( 1 \right) = \sqrt 3 ,\,\,t\left( 2 \right) = \sqrt 2 ,\,\,t\left( 4 \right) = \sqrt 6$ .

Suy ra với $x \in \left[ {1;4} \right]$ thì $t \in \left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 6 } \right]$ .

Khi đó yêu cầu bài toán trở thành tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( t \right) = {t^2} - 6 + f\left( t \right)$ trên $\left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 6 } \right]$ .

Ta có $g'\left( t \right) = 2t + f'\left( t \right)$ .

Ta đi tìm hàm số $f\left( x \right)$ . Dựa vào đồ thị $\Rightarrow f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ $\Rightarrow f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx$ .

Đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ đi qua các điểm $\left( { - 1; - 4} \right),\,\,\left( {0; - 3} \right),\,\,\left( {1; - 4} \right)$ và có 3 điểm cực trị $x = 0,\,\,x = \pm 1$ nên ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = - 4\\c = - 3\\4a + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = - 3\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} - 3\\f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( t \right) = {t^4} - 2{t^2} - 3\\f'\left( t \right) = 4{t^3} - 4t\end{array} \right.$ .

Khi đó $g'\left( t \right) = 2t + 4{t^3} - 4t = 4{t^3} - 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \notin \left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 6 } \right]\\t = \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \notin \left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 6 } \right]\end{array} \right.$ .

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}g\left( {\sqrt 2 } \right) = 2 - 6 + f\left( {\sqrt 2 } \right) = - 4 - 3 = - 7\\g\left( {\sqrt 6 } \right) = 6 - 6 + f\left( {\sqrt 6 } \right) = 21\end{array} \right.$ .

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) = - 7,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) = 21 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) + \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) = 14$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.