Cho hàm số $y = h\left( x \right)$ thỏa mãn \({h^3}\left( x \right) - 6{h^2}\left( x \right) + 15h\left( x

Câu hỏi số 535991:

Vận dụng cao

Cho hàm số $y = h\left( x \right)$ thỏa mãn ${h^3}\left( x \right) - 6{h^2}\left( x \right) + 15h\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1} + 14$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x - 4h\left( x \right)$ .

$4$

$5$

$8$

$- 11$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535991

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: $x \ge 1$ .

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{h^3}\left( x \right) - 6{h^2}\left( x \right) + 15h\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1} + 14\\ \Leftrightarrow {h^3}\left( x \right) - 6{h^2}\left( x \right) + 12h\left( x \right) - 8 + 3h\left( x \right) - 6 = \left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1} \\ \Leftrightarrow {\left[ {h\left( x \right) - 2} \right]^3} + 3\left[ {h\left( x \right) - 2} \right] = {\left( {\sqrt {x - 1} } \right)^3} + 3\sqrt {x - 1} \end{array}$

Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right) = {t^3} + 3t$ ta có $f'\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0\,\,\forall t$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Do đó $f\left[ {h\left( x \right) - 2} \right] = f\left( {\sqrt {x - 1} } \right) \Leftrightarrow h\left( x \right) - 2 = \sqrt {x - 1} \Leftrightarrow h\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + 2$ .

$\begin{array}{l} \Rightarrow P = x - 4h\left( x \right) = x - 4\sqrt {x - 1} - 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x - 1 - 4\sqrt {x - 1} + 4 - 11\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {\sqrt {x - 1} - 2} \right)^2} - 11 \ge - 11\end{array}$ .

Vậy ${P_{\min }} = - 11$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.