Cho hàm số \(y = h\left( x \right)\) thỏa mãn \({h^3}\left( x \right) - 6{h^2}\left( x \right) + 15h\left( x

Câu hỏi số 535991:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = h\left( x \right)\) thỏa mãn \({h^3}\left( x \right) - 6{h^2}\left( x \right) + 15h\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1} + 14\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x - 4h\left( x \right)\).

A. \(4\)

B. \(5\)

C. \(8\)

D. \( - 11\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:535991

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ge 1\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{h^3}\left( x \right) - 6{h^2}\left( x \right) + 15h\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1} + 14\\ \Leftrightarrow {h^3}\left( x \right) - 6{h^2}\left( x \right) + 12h\left( x \right) - 8 + 3h\left( x \right) - 6 = \left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1} \\ \Leftrightarrow {\left[ {h\left( x \right) - 2} \right]^3} + 3\left[ {h\left( x \right) - 2} \right] = {\left( {\sqrt {x - 1} } \right)^3} + 3\sqrt {x - 1} \end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {t^3} + 3t\) ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0\,\,\forall t\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(f\left[ {h\left( x \right) - 2} \right] = f\left( {\sqrt {x - 1} } \right) \Leftrightarrow h\left( x \right) - 2 = \sqrt {x - 1} \Leftrightarrow h\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = x - 4h\left( x \right) = x - 4\sqrt {x - 1} - 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x - 1 - 4\sqrt {x - 1} + 4 - 11\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {\sqrt {x - 1} - 2} \right)^2} - 11 \ge - 11\end{array}\).

Vậy \({P_{\min }} = - 11\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.