Cho hàm số \(y = h\left( x \right)\) thỏa mãn \({h^3}\left( x \right) - 6{h^2}\left( x \right) + 15h\left( x
Cho hàm số \(y = h\left( x \right)\) thỏa mãn \({h^3}\left( x \right) - 6{h^2}\left( x \right) + 15h\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1} + 14\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x - 4h\left( x \right)\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp xét hàm đặc trưng.
ĐKXĐ: \(x \ge 1\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{h^3}\left( x \right) - 6{h^2}\left( x \right) + 15h\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1} + 14\\ \Leftrightarrow {h^3}\left( x \right) - 6{h^2}\left( x \right) + 12h\left( x \right) - 8 + 3h\left( x \right) - 6 = \left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 1} \\ \Leftrightarrow {\left[ {h\left( x \right) - 2} \right]^3} + 3\left[ {h\left( x \right) - 2} \right] = {\left( {\sqrt {x - 1} } \right)^3} + 3\sqrt {x - 1} \end{array}\)
Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {t^3} + 3t\) ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0\,\,\forall t\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó \(f\left[ {h\left( x \right) - 2} \right] = f\left( {\sqrt {x - 1} } \right) \Leftrightarrow h\left( x \right) - 2 = \sqrt {x - 1} \Leftrightarrow h\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + 2\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = x - 4h\left( x \right) = x - 4\sqrt {x - 1} - 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x - 1 - 4\sqrt {x - 1} + 4 - 11\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {\sqrt {x - 1} - 2} \right)^2} - 11 \ge - 11\end{array}\).
Vậy \({P_{\min }} = - 11\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com