Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là các điểm cực trị của hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 4x\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 9} \right)\) là:

Câu 535992: Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là các điểm cực trị của hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 4x\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 9} \right)\) là:

A. 2

B. 9

C. 4

D. 1

Câu hỏi : 535992

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Tính \(y'\), tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị.

- Sử dụng định lí Vi-ét.

- Biểu diễn biểu thức \(S\) theo 1 ẩn \({x_1}\) hoặc \({x_2}\). Sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTLN của \(S\).

Đáp án : D
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 4x\) \( \Rightarrow y' = {x^2} - mx - 4\).
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \Delta = {m^2} + 16 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = - 4\end{array} \right.\).
Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}S = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 9} \right)\\\,\,\,\, = 16 - 9x_1^2 - {\left( {\dfrac{{ - 4}}{{{x_1}}}} \right)^2} + 9\\\,\,\,\, = 25 - \left( {9x_1^2 + \dfrac{{16}}{{x_1^2}}} \right)\end{array}\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(9x_1^2 + \dfrac{{16}}{{x_1^2}} \ge 2\sqrt {9x_1^2\dfrac{{16}}{{x_1^2}}} = 24\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 9x_1^2 = \dfrac{{16}}{{x_1^2}} \Leftrightarrow {x_1} = \pm \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Khi đó \(S \le 25 - 24 = 1\).
Vậy \({S_{\max }} = 1\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.