Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là các điểm cực trị của hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} -

Câu hỏi số 535992:

Vận dụng

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là các điểm cực trị của hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 4x\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 9} \right)\) là:

A. 2

B. 9

C. 4

D. 1

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:535992

Phương pháp giải

- Tính \(y'\), tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị.

- Sử dụng định lí Vi-ét.

- Biểu diễn biểu thức \(S\) theo 1 ẩn \({x_1}\) hoặc \({x_2}\). Sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTLN của \(S\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 4x\) \( \Rightarrow y' = {x^2} - mx - 4\).

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \Delta = {m^2} + 16 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = - 4\end{array} \right.\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}S = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 9} \right)\\\,\,\,\, = 16 - 9x_1^2 - {\left( {\dfrac{{ - 4}}{{{x_1}}}} \right)^2} + 9\\\,\,\,\, = 25 - \left( {9x_1^2 + \dfrac{{16}}{{x_1^2}}} \right)\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(9x_1^2 + \dfrac{{16}}{{x_1^2}} \ge 2\sqrt {9x_1^2\dfrac{{16}}{{x_1^2}}} = 24\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 9x_1^2 = \dfrac{{16}}{{x_1^2}} \Leftrightarrow {x_1} = \pm \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Khi đó \(S \le 25 - 24 = 1\).

Vậy \({S_{\max }} = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.