Gọi ${x_1},\,\,{x_2}$ là các điểm cực trị của hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} -

Câu hỏi số 535992:

Vận dụng

Gọi ${x_1},\,\,{x_2}$ là các điểm cực trị của hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 4x$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $S = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 9} \right)$ là:

A. 2

B. 9

C. 4

D. 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535992

Phương pháp giải

- Tính $y'$ , tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị.

- Sử dụng định lí Vi-ét.

- Biểu diễn biểu thức $S$ theo 1 ẩn ${x_1}$ hoặc ${x_2}$ . Sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTLN của $S$ .

Giải chi tiết

Ta có: $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 4x$ $\Rightarrow y' = {x^2} - mx - 4$ .

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow \Delta = {m^2} + 16 > 0$ (luôn đúng với mọi $m$ ).

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = - 4\end{array} \right.$ .

Khi đó ta có

$\begin{array}{l}S = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 9} \right)\\\,\,\,\, = 16 - 9x_1^2 - {\left( {\dfrac{{ - 4}}{{{x_1}}}} \right)^2} + 9\\\,\,\,\, = 25 - \left( {9x_1^2 + \dfrac{{16}}{{x_1^2}}} \right)\end{array}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có $9x_1^2 + \dfrac{{16}}{{x_1^2}} \ge 2\sqrt {9x_1^2\dfrac{{16}}{{x_1^2}}} = 24$ . Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 9x_1^2 = \dfrac{{16}}{{x_1^2}} \Leftrightarrow {x_1} = \pm \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}$ .

Khi đó $S \le 25 - 24 = 1$ .

Vậy ${S_{\max }} = 1$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.