Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ . Biết $SA$ vuông góc với mặt

Câu hỏi số 537680:

Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ . Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng ${45^0}$ . Khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ bằng:

\frac{a \sqrt{6}}{3}

$\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$

\frac{a \sqrt{6}}{4}

$\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}$

\frac{2 a \sqrt{6}}{3}

$\dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}$

\frac{a \sqrt{6}}{2}

$\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:537680

Phương pháp giải

- Đổi $d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right)$ sang $d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)$ .

- Trong $\left( {SAD} \right)$ dựng $AH \bot SD$ . Chứng minh $AH \bot \left( {SCD} \right)$ .

- Xác định góc giữa $SC$ và đáy là góc giữa $SC$ và hình chiếu vuông góc của $SC$ trên đáy.

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Ta có $AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right)$ $\Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)$ .

Trong $\left( {SAD} \right)$ dựng $AH \bot SD$ ta có $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SD\\AH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AH\end{array}$

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( {ABCD} \right)$ .

$\Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {45^0}$ .

$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại $A$ $\Rightarrow SA = AC = 2a\sqrt 2$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAD$ ta có $AH = \dfrac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 2 .2a}}{{\sqrt {8{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}$ .

Vậy $d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.