Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\). Biết \(SA\) vuông góc với mặt

Câu hỏi số 537680:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\). Biết \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^0}\). Khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

C. \(\dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:537680

Phương pháp giải

- Đổi \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right)\) sang \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

- Trong \(\left( {SAD} \right)\) dựng \(AH \bot SD\) . Chứng minh \(AH \bot \left( {SCD} \right)\).

- Xác định góc giữa \(SC\) và đáy là góc giữa \(SC\) và hình chiếu vuông góc của \(SC\) trên đáy.

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Ta có \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SAD} \right)\) dựng \(AH \bot SD\) ta có \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SD\\AH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AH\end{array}\)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {45^0}\).

\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow SA = AC = 2a\sqrt 2 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAD\) ta có \(AH = \dfrac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 2 .2a}}{{\sqrt {8{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.