Cho hàm số \(y = \sin \left| x \right|\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu hỏi số 537689:

Thông hiểu

A. \(y'\left( 0 \right) = 0\)

B. \(y'\left( 0 \right) = 1\)

C. \(y'\left( 0 \right) = - 1\)

D. Hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:537689

Phương pháp giải

- Sử dụng định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a;b} \right)\) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\).

- Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) tồn tại khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).

Giải chi tiết

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \sin \left( { - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ { - \sin x} \right] = - \sin 0 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sin x = \sin 0 = 0\\y\left( 0 \right) = \sin 0 = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = y\left( 0 \right) = 0\).

\( \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \(x = 0\).

Xét:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \left( { - x} \right) - \sin 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - \sin x}}{x} = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sin x - \sin 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\end{array}\)

Vậy hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.