Cho hàm số $y = \sin \left| x \right|$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu hỏi số 537689:

Thông hiểu

$y'\left( 0 \right) = 0$

$y'\left( 0 \right) = 1$

$y'\left( 0 \right) = - 1$

D. Hàm số không có đạo hàm tại

$x = 0$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:537689

Phương pháp giải

- Sử dụng định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\left( {a;b} \right)$ và ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$ . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm $x = {x_0}$ .

- Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ tồn tại khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ .

Giải chi tiết

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \sin \left( { - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ { - \sin x} \right] = - \sin 0 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sin x = \sin 0 = 0\\y\left( 0 \right) = \sin 0 = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = y\left( 0 \right) = 0$ .

$\Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x = 0$ .

Xét:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \left( { - x} \right) - \sin 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - \sin x}}{x} = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sin x - \sin 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\end{array}$

Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.