Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc

Câu hỏi số 537692:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA = a$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ . Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng:

\frac{a \sqrt{3}}{3}

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

\frac{a \sqrt{3}}{6}

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$

\frac{a \sqrt{3}}{2}

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

\frac{a \sqrt{3}}{4}

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:537692

Phương pháp giải

- Đổi $d\left( {M;\left( {SBD} \right)} \right)$ sang $d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)$ .

- Trong $\left( {SAC} \right)$ kẻ $AH \bot SO$ , chứng minh $AH \bot \left( {SBD} \right)$ .

- Sử dụng tính chất hình vuông và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi $O = AC \cap BD$ , $E = AM \cap BD \Rightarrow E = AM \cap \left( {SBD} \right)$ .

Vì $OM$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $OM//AB$ . Áp dụng định lí Ta-lét ta có $\dfrac{{ME}}{{AE}} = \dfrac{{OM}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}$ .

$\Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{ME}}{{AE}} = \dfrac{1}{2}$ .

Trong $\left( {SAC} \right)$ kẻ $AH \bot SO$ ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BD\\AH \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH\end{array}$

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}a\sqrt 2$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $AH = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{1}{2}a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{1}{2}{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$ .

Vậy $d\left( {M;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.