Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc

Câu hỏi số 537692:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:537692

Phương pháp giải

- Đổi \(d\left( {M;\left( {SBD} \right)} \right)\) sang \(d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).

- Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AH \bot SO\), chứng minh \(AH \bot \left( {SBD} \right)\).

- Sử dụng tính chất hình vuông và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\), \(E = AM \cap BD \Rightarrow E = AM \cap \left( {SBD} \right)\).

Vì \(OM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên \(OM//AB\). Áp dụng định lí Ta-lét ta có \(\dfrac{{ME}}{{AE}} = \dfrac{{OM}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{ME}}{{AE}} = \dfrac{1}{2}\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AH \bot SO\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BD\\AH \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH\end{array}\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}a\sqrt 2 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(AH = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{1}{2}a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{1}{2}{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {M;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.