Cho hàm số \(y = 1 - \sin x{\cos ^2}x + {\cos ^2}x\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn

Câu hỏi số 537695:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = 1 - \sin x{\cos ^2}x + {\cos ^2}x\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giá trị của \(M - m\) bằng:

A. \(\dfrac{{32}}{{27}}\)

B. \(\dfrac{{86}}{{27}}\)

C. \(\dfrac{1}{{27}}\)

D. \(\dfrac{{59}}{{27}}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:537695

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\), đặt ẩn phụ \(t = \sin x\(.

- Đưa về bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số trên 1 đoạn cho trước.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}y = 1 - \sin x{\cos ^2}x + {\cos ^2}x\\y = 1 - \sin x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 1 - {\sin ^2}x\\y = 1 - \sin x + {\sin ^3}x + 1 - {\sin ^2}x\\y = {\sin ^3}x - {\sin ^2}x - \sin x + 2\end{array}\)

Đặt \(t = \sin x\), \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\) ta có \(y = {t^3} - {t^2} - t + 2\).

Ta đi tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = {t^3} - {t^2} - t + 2\) trên \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Ta có \(y' = 3{t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \in \left[ { - 1;1} \right]\\t = - \dfrac{1}{3} \in \left[ { - 1;1} \right]\end{array} \right.\).

\(y\left( 1 \right) = 1,\,\,y\left( { - 1} \right) = 1,\,\,y\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{59}}{{27}}\).

\( \Rightarrow m = 1,\,\,M = \dfrac{{59}}{{27}}\).

Vậy \(M - m = \dfrac{{59}}{{27}} - 1 = \dfrac{{32}}{{27}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.