Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A,\,\,B$ thay đổi trên mặt cầu \(\left( S

Câu hỏi số 537696:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A,\,\,B$ thay đổi trên mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25$ sao cho $AB = 6$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $O{A^2} - O{B^2}$ là:

12

$12$

6

$6$

10

$10$

24

$24$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:537696

Phương pháp giải

- Tìm tâm $I$ và bán kính của mặt cầu.

- Phân tích biểu thức $O{A^2} - O{B^2}$ theo vectơ, từ đó tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25$ có tâm $I\left( {0;0;1} \right)$ và bán kính $R = 5$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}O{A^2} - O{B^2} = {\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = {\overrightarrow {OI} ^2} + 2\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IA} + {\overrightarrow {IA} ^2} - \left( {{{\overrightarrow {OI} }^2} + 2\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IB} + {{\overrightarrow {IB} }^2}} \right)\end{array}$

$= 2\overrightarrow {OI} .\left( {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} } \right)$ (vì $IA = IB = R$ )

$= 2\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {BA} = 2.OI.BA.cos\left( {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {BA} } \right) \le 2OI.BA = 12$

Dấu bằng xảy ra khi hai vecto $\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {BA}$ cùng hướng.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức bằng $12$ .

Chọn A.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.