Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A,\,\,B\) thay đổi trên mặt cầu \(\left( S

Câu hỏi số 537696:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A,\,\,B\) thay đổi trên mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\) sao cho \(AB = 6\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(O{A^2} - O{B^2}\) là:

A. \(12\)

B. \(6\)

C. \(10\)

D. \(24\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:537696

Phương pháp giải

- Tìm tâm \(I\) và bán kính của mặt cầu.

- Phân tích biểu thức \(O{A^2} - O{B^2}\) theo vectơ, từ đó tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\) và bán kính \(R = 5\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}O{A^2} - O{B^2} = {\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = {\overrightarrow {OI} ^2} + 2\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IA} + {\overrightarrow {IA} ^2} - \left( {{{\overrightarrow {OI} }^2} + 2\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IB} + {{\overrightarrow {IB} }^2}} \right)\end{array}\)

\( = 2\overrightarrow {OI} .\left( {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} } \right)\) (vì \(IA = IB = R\))

\( = 2\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {BA} = 2.OI.BA.cos\left( {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {BA} } \right) \le 2OI.BA = 12\)

Dấu bằng xảy ra khi hai vecto \(\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {BA} \) cùng hướng.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức bằng \(12\).

Chọn A.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.