Cho khai triển nhị thức Newton \({\left( {1 + 2x} \right)^{12}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_{12}}{x^{12}}\). Số

Câu hỏi số 537697:

Vận dụng

Cho khai triển nhị thức Newton \({\left( {1 + 2x} \right)^{12}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_{12}}{x^{12}}\). Số lớn nhất trong các hệ số \({a_0},\,\,{a_1},\,\,...,\,\,{a_{12}}\) là:

A. \({a_9}\)

B. \({a_8}\)

C. \({a_7}\)

D. \({a_6}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:537697

Phương pháp giải

Gọi \({a_k}\) là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra \({a_k} > {a_{k - 1}}\) và \({a_k} > {a_{k + 1}}\)

Từ đó ta giải hệ bất phương trình để tìm \(k\).

Giải chi tiết

Gọi \({a_k}\) là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra \({a_k} > {a_{k - 1}}\) và \({a_k} > {a_{k + 1}}\).

Ta có \({\left( {1 + 2x} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{\left( {2x} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{2^k}{x^k}} \).

Từ đây ta có được hệ bất phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^k}.C_{12}^k \ge {2^{k - 1}}.C_{12}^{k - 1}\\{2^k}C_{12}^k \ge {2^{k + 1}}.C_{12}^{k + 1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\dfrac{{12!}}{{k!\left( {12 - k} \right)!}} \ge \dfrac{{12!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}}\\\dfrac{{12!}}{{k!\left( {12 - k} \right)!}} \ge 2.\dfrac{{12!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {11 - k} \right)!}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{k} \ge \dfrac{1}{{13 - k}}\\\dfrac{1}{{12 - k}} \ge \dfrac{2}{{k + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}26 - 2k \ge k\\k + 1 \ge 24 - 2k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \le \dfrac{{26}}{3}\\k \ge \dfrac{{23}}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \dfrac{{23}}{3} \le k \le \dfrac{{26}}{3} \Rightarrow k = 8\end{array}\)

Vậy số lớn nhất trong các hệ số là \({a_8}\).

Chọn B.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.