Số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${e^{{x^2} + m}} = {x^2} + m + 1$ có

Câu hỏi số 537698:

Vận dụng

Số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${e^{{x^2} + m}} = {x^2} + m + 1$ có nghiệm $x \in \left( { - 1;5} \right)$ là

23

$23$

24

$24$

25

$25$

26

$26$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:537698

Phương pháp giải

- Chuyển vế, đặt ẩn phụ để biện luận số nghiệm của phương trình.

- Lập luận chỉ ra phương trình có nghiệm duy nhất.

- Đưa về bài toán tương giao, tìm các giá trị $m$ thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có: ${e^{{x^2} + m}} = {x^2} + m + 1$ $\Leftrightarrow {e^{{x^2} + m}} - \left( {{x^2} + m} \right) = 1$ (*)

Đặt ${x^2} + m = u$ . Khi đó phương trình (*) trở thành: ${e^u} - u = 1$ .

Đặt $h\left( u \right) = {e^u} - u$ ta có: $h'\left( u \right) = {e^u} - 1$ .

Xét $h'\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow {e^u} - 1 = 0 \Leftrightarrow u = 0$ .

Ta có BBT:

Nhận thấy đường thẳng $y = 1$ cắt hàm số tại 1 điểm $u = 0$ , do đó $u = 0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Khi đó ${x^2} + m = 0$ $\Leftrightarrow {x^2} = - m$ .

Đặt $f\left( x \right) = {x^2}$ . Khảo sát hàm số $f\left( x \right)$ với $x \in \left( { - 1;5} \right)$ .

Ta có: $f'\left( x \right) = 2x$ ; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Bảng biến thiên:

Để phương trình ban đầu có nghiệm $x \in \left( { - 1;5} \right)$ thì $0 \le - m < 25 \Leftrightarrow - 25 < m \le 0 \Rightarrow m \in \left\{ { - 24; - 23; - 22;...;0} \right\}$ .

Vậy có $25$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.

Chọn C.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.