Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({e^{{x^2} + m}} = {x^2} + m + 1\) có

Câu hỏi số 537698:

Vận dụng

Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({e^{{x^2} + m}} = {x^2} + m + 1\) có nghiệm \(x \in \left( { - 1;5} \right)\) là

A. \(23\)

B. \(24\)

C. \(25\)

D. \(26\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:537698

Phương pháp giải

- Chuyển vế, đặt ẩn phụ để biện luận số nghiệm của phương trình.

- Lập luận chỉ ra phương trình có nghiệm duy nhất.

- Đưa về bài toán tương giao, tìm các giá trị \(m\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có: \({e^{{x^2} + m}} = {x^2} + m + 1\)\( \Leftrightarrow {e^{{x^2} + m}} - \left( {{x^2} + m} \right) = 1\) (*)

Đặt \({x^2} + m = u\). Khi đó phương trình (*) trở thành: \({e^u} - u = 1\).

Đặt \(h\left( u \right) = {e^u} - u\) ta có: \(h'\left( u \right) = {e^u} - 1\).

Xét \(h'\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow {e^u} - 1 = 0 \Leftrightarrow u = 0\).

Ta có BBT:

Nhận thấy đường thẳng \(y = 1\) cắt hàm số tại 1 điểm \(u = 0\), do đó \(u = 0\) là nghiệm duy nhất của phương trình.

Khi đó \({x^2} + m = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} = - m\).

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2}\). Khảo sát hàm số \(f\left( x \right)\) với \(x \in \left( { - 1;5} \right)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2x\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Bảng biến thiên:

Để phương trình ban đầu có nghiệm \(x \in \left( { - 1;5} \right)\) thì \(0 \le - m < 25 \Leftrightarrow - 25 < m \le 0 \Rightarrow m \in \left\{ { - 24; - 23; - 22;...;0} \right\}\).

Vậy có \(25\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn C.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.