Cho (O;R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của (O). Tiếp tuyến của (O) tại B
Cho (O;R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của (O). Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AM, AN tại Q và P.
1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
3) Gọi E là trung điểm BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.
4) Khi đường thẳng MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
Quảng cáo
Cho (O;R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của (O). Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AM, AN tại Q và P.
1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.
Xét \(\left( O \right)\): \(\angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\angle MAN = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\angle ANB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác \(AMBN\):
\(\begin{array}{l}\angle AMB = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle MAN = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ANB = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AMBN\) là hình chữ nhật (dhnb HCN)
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
Xét \(\left( O \right)\): \(\angle MNB = \angle MAB\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(MB\)).
Mà \(\angle MAB + \angle Q = {90^0}\) (\(\Delta ABQ\) vuông tại B)
\( \Rightarrow \angle MNB + \angle Q = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle MQP + \angle MNP = \left( {\angle MQP + \angle MNB} \right) + \angle BNP = {180^0}\).
Xét tứ giác \(MNPQ\) có: \(\angle MQP + \angle MNP = {180^0}\).
Mà \(\angle MQP\) và \(\angle MNP\) là 2 góc đối nhau
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(MNPQ\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)
\( \Rightarrow M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) cùng thuộc một đường tròn.
3) Gọi E là trung điểm BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.
*) CMR F là trung điểm của BP.
Xét \(\Delta ABQ\) :
O là trung điểm của AB (AB là đường kính (O))
E là trung điểm BQ (gt)
\( \Rightarrow \) OE là đường trung bình \(\Delta ABQ\) (đn đtb tam giác)
\( \Rightarrow \) OE // AQ (tính chất đường trung bình)
Mà \(OF \bot OE\,\,\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow OF \bot AQ\) (từ vuông góc đến song song)
Mà \(AP \bot AQ\)
\( \Rightarrow OF//AP\) (từ vuông góc đến song song)
Xét \(\Delta ABP\) :
O là trung điểm của AB.
OF // AP (cmt)
\( \Rightarrow F\) là trung điểm của BP (định lí đường trung bình của tam giác) (đpcm).
*) CMR ME // NF
Xét \(\Delta BMQ\,\,\left( {\angle BMQ = {{90}^0}} \right)\)
ME là đường trung tuyến (E là trung điểm BQ)
\( \Rightarrow ME = \dfrac{1}{2}BQ\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
\( \Rightarrow ME = EB\).
Xét \(\Delta OME\) và \(\Delta OBE\)
\(\begin{array}{l}OM = OB = R\\OE\,\,chung\\ME = BE\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta OME = \Delta OBE\,\,\left( {c.c.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle OME = \angle OBE = {90^0}\) (2 góc tương ứng)
\( \Rightarrow ME \bot MN\)
CMTT : \(NF \bot MN\)
\( \Rightarrow ME//NF\) (từ vuông góc đến song song) (đpcm).
4) Khi đường thẳng MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
\(\begin{array}{l}{S_{MNPQ}} = {S_{PAQ}} - {S_{MAN}}\\{S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}AB.PQ - \dfrac{1}{2}AM.AN\\{S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}.2R.PQ - \dfrac{1}{2}AM.AN\\{S_{MNPQ}} = R.PQ - \dfrac{1}{2}AM.AN\end{array}\)
\(\begin{array}{l}PQ = PB + BQ \ge 2\sqrt {PB.BQ} \\ \Leftrightarrow PQ \ge 2\sqrt {A{B^2}} \Leftrightarrow PQ \ge 2\sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2}} \Leftrightarrow PQ \ge 4R\end{array}\)
+) \(A{M^2} + A{N^2} \ge 2\sqrt {A{M^2}.A{N^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M{N^2} \ge 2AM.AN \Leftrightarrow {\left( {2R} \right)^2} \ge 2AM.AN\\ \Leftrightarrow 4{R^2} \ge 2AM.AN \Leftrightarrow AM.AN \le 2{R^2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}AM.AN \ge - \dfrac{1}{2}.2{R^2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}AM.AN \ge - {R^2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{MNPQ}} = R.PQ - \dfrac{1}{2}AM.AN \ge R.4R + \left( { - {R^2}} \right)\\{S_{MNPQ\,\,\min }} = 3{R^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}BP = BQ\\A{M^2} = A{N^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}BP = BQ\\AM = AN\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta AMN\) vuông cân tại A \( \Rightarrow MN \bot OA\).
Vậy \({S_{MNPQ}}\) nhỏ nhất là \(3{R^2} \Leftrightarrow MN \bot AB\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
