Cho (O;R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của (O). Tiếp tuyến của (O) tại B

Câu hỏi số 539929:

Vận dụng

Cho (O;R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của (O). Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AM, AN tại Q và P.

1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật

2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

3) Gọi E là trung điểm BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.

4) Khi đường thẳng MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539929

Giải chi tiết

Cho (O;R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của (O). Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AM, AN tại Q và P.

1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

Xét \(\left( O \right)\): \(\angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\angle MAN = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\angle ANB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác \(AMBN\):

\(\begin{array}{l}\angle AMB = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle MAN = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ANB = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AMBN\) là hình chữ nhật (dhnb HCN)

2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

Xét \(\left( O \right)\): \(\angle MNB = \angle MAB\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(MB\)).

Mà \(\angle MAB + \angle Q = {90^0}\) (\(\Delta ABQ\) vuông tại B)

\( \Rightarrow \angle MNB + \angle Q = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle MQP + \angle MNP = \left( {\angle MQP + \angle MNB} \right) + \angle BNP = {180^0}\).

Xét tứ giác \(MNPQ\) có: \(\angle MQP + \angle MNP = {180^0}\).

Mà \(\angle MQP\) và \(\angle MNP\) là 2 góc đối nhau

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(MNPQ\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)

\( \Rightarrow M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) cùng thuộc một đường tròn.

3) Gọi E là trung điểm BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.

*) CMR F là trung điểm của BP.

Xét \(\Delta ABQ\) :

O là trung điểm của AB (AB là đường kính (O))

E là trung điểm BQ (gt)

\( \Rightarrow \) OE là đường trung bình \(\Delta ABQ\) (đn đtb tam giác)

\( \Rightarrow \) OE // AQ (tính chất đường trung bình)

Mà \(OF \bot OE\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow OF \bot AQ\) (từ vuông góc đến song song)

Mà \(AP \bot AQ\)

\( \Rightarrow OF//AP\) (từ vuông góc đến song song)

Xét \(\Delta ABP\) :

O là trung điểm của AB.

OF // AP (cmt)

\( \Rightarrow F\) là trung điểm của BP (định lí đường trung bình của tam giác) (đpcm).

*) CMR ME // NF

Xét \(\Delta BMQ\,\,\left( {\angle BMQ = {{90}^0}} \right)\)

ME là đường trung tuyến (E là trung điểm BQ)

\( \Rightarrow ME = \dfrac{1}{2}BQ\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

\( \Rightarrow ME = EB\).

Xét \(\Delta OME\) và \(\Delta OBE\)

\(\begin{array}{l}OM = OB = R\\OE\,\,chung\\ME = BE\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta OME = \Delta OBE\,\,\left( {c.c.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle OME = \angle OBE = {90^0}\) (2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow ME \bot MN\)

CMTT : \(NF \bot MN\)

\( \Rightarrow ME//NF\) (từ vuông góc đến song song) (đpcm).

4) Khi đường thẳng MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.

\(\begin{array}{l}{S_{MNPQ}} = {S_{PAQ}} - {S_{MAN}}\\{S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}AB.PQ - \dfrac{1}{2}AM.AN\\{S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}.2R.PQ - \dfrac{1}{2}AM.AN\\{S_{MNPQ}} = R.PQ - \dfrac{1}{2}AM.AN\end{array}\)

\(\begin{array}{l}PQ = PB + BQ \ge 2\sqrt {PB.BQ} \\ \Leftrightarrow PQ \ge 2\sqrt {A{B^2}} \Leftrightarrow PQ \ge 2\sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2}} \Leftrightarrow PQ \ge 4R\end{array}\)

+) \(A{M^2} + A{N^2} \ge 2\sqrt {A{M^2}.A{N^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M{N^2} \ge 2AM.AN \Leftrightarrow {\left( {2R} \right)^2} \ge 2AM.AN\\ \Leftrightarrow 4{R^2} \ge 2AM.AN \Leftrightarrow AM.AN \le 2{R^2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}AM.AN \ge - \dfrac{1}{2}.2{R^2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}AM.AN \ge - {R^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{MNPQ}} = R.PQ - \dfrac{1}{2}AM.AN \ge R.4R + \left( { - {R^2}} \right)\\{S_{MNPQ\,\,\min }} = 3{R^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}BP = BQ\\A{M^2} = A{N^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}BP = BQ\\AM = AN\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta AMN\) vuông cân tại A \( \Rightarrow MN \bot OA\).

Vậy \({S_{MNPQ}}\) nhỏ nhất là \(3{R^2} \Leftrightarrow MN \bot AB\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.