Cho (O;R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của (O). Tiếp tuyến của (O) tại B

Câu hỏi số 539929:

Vận dụng

Cho (O;R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của (O). Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AM, AN tại Q và P.

1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật

2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

3) Gọi E là trung điểm BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.

4) Khi đường thẳng MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539929

Giải chi tiết

Cho (O;R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của (O). Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AM, AN tại Q và P.

1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

Xét $\left( O \right)$ : $\angle AMB = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\angle MAN = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\angle ANB = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác $AMBN$ :

$\begin{array}{l}\angle AMB = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle MAN = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ANB = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}$

$\Rightarrow$ Tứ giác $AMBN$ là hình chữ nhật (dhnb HCN)

2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

Xét $\left( O \right)$ : $\angle MNB = \angle MAB$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $MB$ ).

Mà $\angle MAB + \angle Q = {90^0}$ ( $\Delta ABQ$ vuông tại B)

$\Rightarrow \angle MNB + \angle Q = {90^0}$

$\Rightarrow \angle MQP + \angle MNP = \left( {\angle MQP + \angle MNB} \right) + \angle BNP = {180^0}$ .

Xét tứ giác $MNPQ$ có: $\angle MQP + \angle MNP = {180^0}$ .

Mà $\angle MQP$ và $\angle MNP$ là 2 góc đối nhau

$\Rightarrow$ Tứ giác $MNPQ$ là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)

$\Rightarrow M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q$ cùng thuộc một đường tròn.

3) Gọi E là trung điểm BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.

*) CMR F là trung điểm của BP.

Xét $\Delta ABQ$ :

O là trung điểm của AB (AB là đường kính (O))

E là trung điểm BQ (gt)

$\Rightarrow$ OE là đường trung bình $\Delta ABQ$ (đn đtb tam giác)

$\Rightarrow$ OE // AQ (tính chất đường trung bình)

Mà $OF \bot OE\,\,\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow OF \bot AQ$ (từ vuông góc đến song song)

Mà $AP \bot AQ$

$\Rightarrow OF//AP$ (từ vuông góc đến song song)

Xét $\Delta ABP$ :

O là trung điểm của AB.

OF // AP (cmt)

$\Rightarrow F$ là trung điểm của BP (định lí đường trung bình của tam giác) (đpcm).

*) CMR ME // NF

Xét $\Delta BMQ\,\,\left( {\angle BMQ = {{90}^0}} \right)$

ME là đường trung tuyến (E là trung điểm BQ)

$\Rightarrow ME = \dfrac{1}{2}BQ$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

$\Rightarrow ME = EB$ .

Xét $\Delta OME$ và $\Delta OBE$

$\begin{array}{l}OM = OB = R\\OE\,\,chung\\ME = BE\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta OME = \Delta OBE\,\,\left( {c.c.c} \right)$

$\Rightarrow \angle OME = \angle OBE = {90^0}$ (2 góc tương ứng)

$\Rightarrow ME \bot MN$

CMTT : $NF \bot MN$

$\Rightarrow ME//NF$ (từ vuông góc đến song song) (đpcm).

4) Khi đường thẳng MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.

$\begin{array}{l}{S_{MNPQ}} = {S_{PAQ}} - {S_{MAN}}\\{S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}AB.PQ - \dfrac{1}{2}AM.AN\\{S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}.2R.PQ - \dfrac{1}{2}AM.AN\\{S_{MNPQ}} = R.PQ - \dfrac{1}{2}AM.AN\end{array}$

$\begin{array}{l}PQ = PB + BQ \ge 2\sqrt {PB.BQ} \\ \Leftrightarrow PQ \ge 2\sqrt {A{B^2}} \Leftrightarrow PQ \ge 2\sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2}} \Leftrightarrow PQ \ge 4R\end{array}$

+) $A{M^2} + A{N^2} \ge 2\sqrt {A{M^2}.A{N^2}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow M{N^2} \ge 2AM.AN \Leftrightarrow {\left( {2R} \right)^2} \ge 2AM.AN\\ \Leftrightarrow 4{R^2} \ge 2AM.AN \Leftrightarrow AM.AN \le 2{R^2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}AM.AN \ge - \dfrac{1}{2}.2{R^2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}AM.AN \ge - {R^2}\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{MNPQ}} = R.PQ - \dfrac{1}{2}AM.AN \ge R.4R + \left( { - {R^2}} \right)\\{S_{MNPQ\,\,\min }} = 3{R^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}BP = BQ\\A{M^2} = A{N^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}BP = BQ\\AM = AN\end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow \Delta AMN$ vuông cân tại A $\Rightarrow MN \bot OA$ .

Vậy ${S_{MNPQ}}$ nhỏ nhất là $3{R^2} \Leftrightarrow MN \bot AB$ .

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.