Với a, b, c là các số dương thỏa mãn \(a + b + c = 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q

Câu hỏi số 539930:

Vận dụng cao

Với a, b, c là các số dương thỏa mãn \(a + b + c = 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(Q = \sqrt {2a + bc} + \sqrt {2b + ca} + \sqrt {2c + ab} \)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539930

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}2a + bc = \left( {a + b + c} \right)a + bc = {a^2} + ab + ac + bc = a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right)\\ \Rightarrow 2a + bc = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\\ \Rightarrow \sqrt {2a + bc} = \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \le \dfrac{{a + b + a + c}}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {2a + bc} \le \dfrac{{2a + b + c}}{2}\end{array}\)

Tương tự:

\(\begin{array}{l}\sqrt {2b + ca} \le \dfrac{{2b + c + a}}{2}\\\sqrt {2c + ab} \le \dfrac{{2c + a + b}}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Q \le \dfrac{{4a + 4b + 4c}}{2} = \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{2}\\ \Leftrightarrow Q \le \dfrac{{4.2}}{2}\\ \Leftrightarrow Q \le 4\end{array}\)

\( \Rightarrow {Q_{\max }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = a + c\\b + c = b + a\\c + a = c + b\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{2}{3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của Q là 4 khi \(a = b = c = \dfrac{2}{3}\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.