Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm O đường kính AB cắt các đoạn BC và OC lần lượt
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm O đường kính AB cắt các đoạn BC và OC lần lượt tại D và I. Gọi H là hình chiếu của A lên OC; AH cắt BC tại M.
Trả lời cho các câu 1, 2, 3, 4 dưới đây:
Chứng minh: Tứ giác ACDH nội tiếp và góc CHD = góc ABC.
\(\widehat {ADB} = {90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\widehat {ADB} = \widehat {AHC} = {90^0}\) ⇒ AHDC là tứ giác nội tiếp.
Ta có: \(\widehat {CHD} = \widehat {DAC}\) (cùng chắn cung DC)
\(\widehat {DAC} = \widehat {ABC}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)
\( \Rightarrow \widehat {CHD} = \widehat {ABC}\)
Chứng minh: Hai tam giác OHB và OBC đồng dạng với nhau và HM là tia phân giác của góc HBD.
Xét \(\Delta OHB\)và \(\Delta OBC\) có:
\(\widehat O\) chung
\(O{B^2} = O{A^2} = OH.OC \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{OB}} = \dfrac{{OB}}{{OC}}\)
⇒\(\Delta OHB\)\( \sim \) \(\Delta OBC\)(c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {OHB} = \widehat {OBC}\) ( 2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat {OBC} = \widehat {DAC} = \widehat {DHC} \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {DHC}\)
\( \Rightarrow \widehat {OHB} = \widehat {DHC}\)
\( \Rightarrow \widehat {BHM} = \widehat {DHM}\) (cùng phụ với 2 góc bằng nhau)
Vậy HM là đường phân giác của góc BHD.
Gọi K là trung điểm của BD. Chứng minh MD.BC = MB.CD và MB.MD = MK.MC.
+) Vì HM là đường phân giác của góc BHD \( \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MD}} = \dfrac{{HB}}{{HD}}\) (tính chất đường phân giác)
Có: HM ⊥ HC (gt) ⇒ HC là đưòng phân giác ngoài của góc BHD
\( \Rightarrow \dfrac{{CB}}{{CD}} = \dfrac{{HB}}{{HD}}\)
Suy ra \(\dfrac{{MB}}{{MD}} = \dfrac{{CB}}{{CD}} \Rightarrow MD.BC = MB.CD\)
+) Áp dụng tính chất của phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác BHD với phân giác trong HM và phân giác ngoài HC( do chúng vuông góc với nhau) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{MB}}{{M{\rm{D}}}} = \dfrac{{BH}}{{H{\rm{D}}}} = \dfrac{{CB}}{{C{\rm{D}}}} \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{M{\rm{D}}}} = \dfrac{{CB}}{{C{\rm{D}}}} \Rightarrow \dfrac{{MB + M{\rm{D}}}}{{M{\rm{D}}}} = \dfrac{{CB}}{{C{\rm{D}}}} + 1\\ \Rightarrow \dfrac{{B{\rm{D}}}}{{M{\rm{D}}}} = \dfrac{{CB + C{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}} \Rightarrow B{\rm{D}}.C{\rm{D}} = M{\rm{D}}(CB + C{\rm{D}})\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}MB.M{\rm{D}} = MK.MC \Leftrightarrow MB.M{\rm{D}} = (MB - \dfrac{{B{\rm{D}}}}{2}).MC \Leftrightarrow MB(MC - M{\rm{D}}) = \dfrac{{B{\rm{D}}.MC}}{2}\\ \Leftrightarrow MB.C{\rm{D}} = \dfrac{{B{\rm{D}}.MC}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{B{\rm{D}}{\rm{.MC}}}}{2} = M{\rm{D}}.BC(\,Theo\,a))\end{array}\)
Như vậy ta cần chứng minh: \(2M{\rm{D}}.BC = MC.B{\rm{D}} \Leftrightarrow \dfrac{{B{\rm{D}}}}{{M{\rm{D}}}} = \dfrac{{2BC}}{{MC}} = \dfrac{{2BC}}{{M{\rm{D}} + C{\rm{D}}}}\)( *)
Mặt khác đã có: \(\dfrac{{B{\rm{D}}}}{{M{\rm{D}}}} = \dfrac{{CB + C{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}}\) nên (*) tương đương với:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{CB + C{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}} = \dfrac{{2BC}}{{MC + C{\rm{D}}}} \Leftrightarrow 2BC.C{\rm{D}} = (CB + C{\rm{D}})(MD + C{\rm{D}})\\ \Leftrightarrow 2BC.C{\rm{D}} = CB.MD + C{\rm{D}}.MD + CB.C{\rm{D}} + C{D^2}\\ \Leftrightarrow 2BC.C{\rm{D}} = MB.C{\rm{D}} + C{\rm{D}}.MD + CB.C{\rm{D}} + C{D^2}\\ \Leftrightarrow 2BC = MB + M{\rm{D}} + BC + C{\rm{D}}\\ \Leftrightarrow 2BC = 2BC\end{array}\)
(luôn đúng).
Ta có đpcm.
Gọi E là giao điểm của AM và OK; J là giao điểm của IM và (O) (J khác I). Chứng minh hai đường thẳng OC và EJ cắt nhau tại một điểm nằm trên (O).
Gọi N là giao của MA với (O).
Theo ý c) \(MK.MC = MB.M{\rm{D}}\), hơn nữa do B, D, N, A là tứ giác nội tiếp nên: \(MB.M{\rm{D}} = MN.MA\).
Hơn nữa I, J cũng thuộc (O) nên ta có:
\(MB.M{\rm{D}} = MN.MA = MI.MJ\).
Tóm lại: \(MI.MJ = MK.MC\). Từ đây ta có 2 tam giác MJK và MCI đồng dạng (c. g. c) do đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {JMK} = \widehat {IMC}\\\dfrac{{MI}}{{MK}} = \dfrac{{MC}}{{MJ}}\end{array} \right.\)
Như vậy suy ra: \(\widehat {MJK} = \widehat {MCI} \to \widehat {MJK} = \widehat {MEK}\)( do \(\widehat {MEK} = {90^0} - \widehat {KME} = {90^0} - \widehat {HMC} = \widehat {MCI}\))
Như vậy tứ giác KJEM nội tiếp, do đó: \(\widehat {MJ{\rm{E}}} = \widehat {MKE} = {90^0}\).
Do đó: \(\widehat {FJI} = {90^0}\)và FI là đường kính của (O).
Từ đó ta có F thuộc đường tròn (O). Ta có đpcm.
Quảng cáo
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
