Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm O đường kính AB cắt các đoạn BC và OC lần lượt

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm O đường kính AB cắt các đoạn BC và OC lần lượt tại D và I. Gọi H là hình chiếu của A lên OC; AH cắt BC tại M.

Trả lời cho các câu 540172, 540173, 540174, 540175 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Chứng minh: Tứ giác ACDH nội tiếp và góc CHD = góc ABC.

Xem lời giải

Câu hỏi:540173

Giải chi tiết

$\widehat {ADB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat {ADB} = \widehat {AHC} = {90^0}$ ⇒ AHDC là tứ giác nội tiếp.

Ta có: $\widehat {CHD} = \widehat {DAC}$ (cùng chắn cung DC)

$\widehat {DAC} = \widehat {ABC}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)

$\Rightarrow \widehat {CHD} = \widehat {ABC}$

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Chứng minh: Hai tam giác OHB và OBC đồng dạng với nhau và HM là tia phân giác của góc HBD.

Xem lời giải

Câu hỏi:540174

Giải chi tiết

Xét $\Delta OHB$ và $\Delta OBC$ có:

$\widehat O$ chung

$O{B^2} = O{A^2} = OH.OC \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{OB}} = \dfrac{{OB}}{{OC}}$

⇒ $\Delta OHB$ $\sim$ $\Delta OBC$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat {OHB} = \widehat {OBC}$ ( 2 góc tương ứng)

Mà $\widehat {OBC} = \widehat {DAC} = \widehat {DHC} \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {DHC}$

$\Rightarrow \widehat {OHB} = \widehat {DHC}$

$\Rightarrow \widehat {BHM} = \widehat {DHM}$ (cùng phụ với 2 góc bằng nhau)

Vậy HM là đường phân giác của góc BHD.

Câu hỏi số 3:

Vận dụng cao

Gọi K là trung điểm của BD. Chứng minh MD.BC = MB.CD và MB.MD = MK.MC.

Xem lời giải

Câu hỏi:540175

Giải chi tiết

+) Vì HM là đường phân giác của góc BHD $\Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MD}} = \dfrac{{HB}}{{HD}}$ (tính chất đường phân giác)

Có: HM ⊥ HC (gt) ⇒ HC là đưòng phân giác ngoài của góc BHD

$\Rightarrow \dfrac{{CB}}{{CD}} = \dfrac{{HB}}{{HD}}$

Suy ra $\dfrac{{MB}}{{MD}} = \dfrac{{CB}}{{CD}} \Rightarrow MD.BC = MB.CD$

+) Áp dụng tính chất của phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác BHD với phân giác trong HM và phân giác ngoài HC( do chúng vuông góc với nhau) ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{MB}}{{M{\rm{D}}}} = \dfrac{{BH}}{{H{\rm{D}}}} = \dfrac{{CB}}{{C{\rm{D}}}} \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{M{\rm{D}}}} = \dfrac{{CB}}{{C{\rm{D}}}} \Rightarrow \dfrac{{MB + M{\rm{D}}}}{{M{\rm{D}}}} = \dfrac{{CB}}{{C{\rm{D}}}} + 1\\ \Rightarrow \dfrac{{B{\rm{D}}}}{{M{\rm{D}}}} = \dfrac{{CB + C{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}} \Rightarrow B{\rm{D}}.C{\rm{D}} = M{\rm{D}}(CB + C{\rm{D}})\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}MB.M{\rm{D}} = MK.MC \Leftrightarrow MB.M{\rm{D}} = (MB - \dfrac{{B{\rm{D}}}}{2}).MC \Leftrightarrow MB(MC - M{\rm{D}}) = \dfrac{{B{\rm{D}}.MC}}{2}\\ \Leftrightarrow MB.C{\rm{D}} = \dfrac{{B{\rm{D}}.MC}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{B{\rm{D}}{\rm{.MC}}}}{2} = M{\rm{D}}.BC(\,Theo\,a))\end{array}$

Như vậy ta cần chứng minh: $2M{\rm{D}}.BC = MC.B{\rm{D}} \Leftrightarrow \dfrac{{B{\rm{D}}}}{{M{\rm{D}}}} = \dfrac{{2BC}}{{MC}} = \dfrac{{2BC}}{{M{\rm{D}} + C{\rm{D}}}}$ ( *)

Mặt khác đã có: $\dfrac{{B{\rm{D}}}}{{M{\rm{D}}}} = \dfrac{{CB + C{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}}$ nên (*) tương đương với:

$\begin{array}{l}\dfrac{{CB + C{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}} = \dfrac{{2BC}}{{MC + C{\rm{D}}}} \Leftrightarrow 2BC.C{\rm{D}} = (CB + C{\rm{D}})(MD + C{\rm{D}})\\ \Leftrightarrow 2BC.C{\rm{D}} = CB.MD + C{\rm{D}}.MD + CB.C{\rm{D}} + C{D^2}\\ \Leftrightarrow 2BC.C{\rm{D}} = MB.C{\rm{D}} + C{\rm{D}}.MD + CB.C{\rm{D}} + C{D^2}\\ \Leftrightarrow 2BC = MB + M{\rm{D}} + BC + C{\rm{D}}\\ \Leftrightarrow 2BC = 2BC\end{array}$

(luôn đúng).

Ta có đpcm.

Câu hỏi số 4:

Vận dụng cao

Gọi E là giao điểm của AM và OK; J là giao điểm của IM và (O) (J khác I). Chứng minh hai đường thẳng OC và EJ cắt nhau tại một điểm nằm trên (O).

Xem lời giải

Câu hỏi:540176

Giải chi tiết

Gọi N là giao của MA với (O).

Theo ý c) $MK.MC = MB.M{\rm{D}}$ , hơn nữa do B, D, N, A là tứ giác nội tiếp nên: $MB.M{\rm{D}} = MN.MA$ .

Hơn nữa I, J cũng thuộc (O) nên ta có:

$MB.M{\rm{D}} = MN.MA = MI.MJ$ .

Tóm lại: $MI.MJ = MK.MC$ . Từ đây ta có 2 tam giác MJK và MCI đồng dạng (c. g. c) do đó:

$\left\{ \begin{array}{l}\widehat {JMK} = \widehat {IMC}\\\dfrac{{MI}}{{MK}} = \dfrac{{MC}}{{MJ}}\end{array} \right.$

Như vậy suy ra: $\widehat {MJK} = \widehat {MCI} \to \widehat {MJK} = \widehat {MEK}$ ( do $\widehat {MEK} = {90^0} - \widehat {KME} = {90^0} - \widehat {HMC} = \widehat {MCI}$ )

Như vậy tứ giác KJEM nội tiếp, do đó: $\widehat {MJ{\rm{E}}} = \widehat {MKE} = {90^0}$ .

Do đó: $\widehat {FJI} = {90^0}$ và FI là đường kính của (O).

Từ đó ta có F thuộc đường tròn (O). Ta có đpcm.

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.