Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa cung

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN Cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.

Trả lời cho các câu 540186, 540187, 540188, 540189 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.

Giải chi tiết

Vì M là điểm chính giữa cung nhỏ AB của (O) (giả thiết)

Suy ra cungAM = cung MB

⇒ góc ACM = góc BCM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Mà góc ACM = góc ANM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

⇒ góc MNA = góc BCM hay góc KNI = góc KCI

Xét tứ giác IKNC:

Góc KNI = góc KCI (cmt)

Mà C và N là hai đỉnh kề nhau

⇒ IKNC là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

⇒ 4 điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn

Xem lời giải

Câu hỏi:540187

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Chứng minh \(N{B^2} = NK.NM\)

Giải chi tiết

Vì ABNC là tứ giác nội tiếp nên góc NBC = góc NAC

Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC của (O) nên góc NAC = góc NAB

Vì AMBN là tứ giác nội tiếp nên góc NAB = góc NMB

Suy ra góc NBC = góc NMB hay góc NBK = góc NMB

Xét ∆ NBK và ∆ NMB có góc NBK = góc NMB; góc MNB chung nên

Xem lời giải

Câu hỏi:540188

Câu hỏi số 3:

Vận dụng cao

Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi

Giải chi tiết

Tứ giác IKNC nội tiếp suy ra góc IKC = góc INC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IC)

Xét (O): Góc ABC = góc ANC ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra góc ABC = góc IKC

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra IK//HB (dhnb hai đt song song)

BI cắt (O) tại G.

Vì I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên G là điểm chính giữa cung AC và BI là phân giác góc ABC

Chứng minh tương tự câu a ta có tứ giác AMHI nội tiếp

Suy ra góc AHI = góc AMI (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI)

Xét (O): Góc ABC = góc AMC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra góc ABC = góc AHI

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra HI//BK (dhnb hai đt song song)

Xét tứ giác BHIK:

IK//HB ( cmt)

HI//BK (cmt)

Suy ra tứ giác BHIK là hình bình hành (dhnb HBH)

Mà BI là phân giác của góc HBK (cmt)

Suy ra tứ giác BHIK là hình thoi. (dhnb hình thoi)

Xem lời giải

Câu hỏi:540189

Câu hỏi số 4:

Vận dụng cao

Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngọai tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Giải chi tiết

Vì góc NBK = góc BMK nên ta có BN là tiếp tuyến tại B của đường tròn (P) ngoại tiếp ∆MBK ⇒ BN ⊥ BP

Mà BN ⊥ BD do góc DBN = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ B, P, D thẳng hàng

Tương tự ta có C, Q, D thẳng hàng

∆ PBK và ∆ DBC là 2 tam giác cân có chung góc ở đáy nên góc ở đỉnh của chúng bằng nhau

⇒ góc BPK = góc BDC

⇒ PK // DC ⇒ PK // DQ

Tương tự ta có DP // QK

Vậy DPKQ là hình bình hành ⇒ DK đi qua trung điểm PQ

⇒ D, E, K thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi:540190

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.