Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: \(a \ge 1,b \ge 1,c \ge 1\) \(ab + bc + ca = 9\) . Tìm
Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: \(a \ge 1,b \ge 1,c \ge 1\) \(ab + bc + ca = 9\) . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
Đáp án đúng là: A
+ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\{b^2} + {c^2} \ge 2bc\\{c^2} + {a^2} \ge 2ca\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
\( \Rightarrow P = {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca = 9\)
Dấu “=” xảy ra ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c \ge 1\\ab + bc + ca = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt 3 \)
+ Vì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 1\\b \ge 1\\c \ge 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0\\\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) \ge 0\\\left( {c - 1} \right)\left( {a - 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab - a - b + 1 \ge 0\\bc - b - c + 1 \ge 0\\ca - c - a + 1 \ge 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow ab + bc + ca - 2\left( {a + b + c} \right) + 3 \ge 0\\ \Rightarrow a + b + c \le \dfrac{{ab + bc + ca + 3}}{2}\end{array}\)
Vì \(a\le 1; b\le 1; c\le 1\)
\( \Rightarrow 3 \le a + b + c \le \dfrac{{ab + bc + ca + 3}}{2} = 6\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \le 36 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \le 36\\ \Rightarrow P \le 36 - 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 18\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a = b = 1,c = 4\\a = 4,b = c = 1\\a = c = 1,b = 4\end{array} \right.\)
Vậy GTNN của P là 9, xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \sqrt 3 \); GTLN của P là 18, xảy ra khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l}a = b = 1,c = 4\\a = 4,b = c = 1\\a = c = 1,b = 4\end{array} \right.\)
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
