Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho tam giác nhọn ABC(AB<AC)ABC(AB<AC) nội tiếp đường tròn (O)(O). Hai
Cho tam giác nhọn ABC(AB<AC)ABC(AB<AC) nội tiếp đường tròn (O)(O). Hai đường cao BDBD và CECE của tam giác ABCABC cắt nhau tại H.H. Đường thẳng AHAH cắt BCBC và (O)(O) lần lượt tại FF và K(K≠A).K(K≠A). Gọi LL là hình chiếu của DD lên AB.AB.
Trả lời cho các câu 540293, 540294, 540295 dưới đây:
Chứng minh rằng tứ giác BEDCBEDC nội tiếp và BD2=BL.BABD2=BL.BA
Xét tứ giác BEDCBEDC có
+) ∠BEC=90∘∠BEC=90∘ (do CE⊥ABCE⊥AB)
+) ∠BDC=90∘∠BDC=90∘ (do BD⊥ACBD⊥AC)
Suy ra ∠BEC=∠BDC(=90∘)∠BEC=∠BDC(=90∘)nên tứ giác BEDCBEDC có hai đỉnh E,DE,D kề nhau cùng nhìn cạnh BCBC dưới các góc vuông, do đó tứ giác BEDCBEDC là tứ giác nội tiếp.
Gọi JJ là giao điểm của KDKD và (O),(J≠K).(O),(J≠K). Chứng minh ∠BJK=∠BDE.∠BJK=∠BDE.
Chứng minh các góc tương ứng bằng nhau.
Xét tam giác ABCABC có hai đường cao BDBD và CECE cắt nhau tại HH nên HH là trực tâm tam giác ABCABC hay AH⊥BC⇔AF⊥BCAH⊥BC⇔AF⊥BC
+) Xét tam giác EBCEBC vuông tại EE có ∠EBC+∠BCE=90∘∠EBC+∠BCE=90∘ (1)
+) Xét tam giác AFBAFB vuông tại FF có ∠FBA+∠BAF=90∘∠FBA+∠BAF=90∘ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∠BCE=∠BAK∠BCE=∠BAK (3) (cùng phụ với ∠ABF∠ABF)
Mà theo câu a) ta có tứ giác BEDCBEDC là tứ giác nội tiếp nên ∠BDE=∠BCE∠BDE=∠BCE (4)
Từ (3) và (4) suy ra ∠BDE=∠BAK∠BDE=∠BAK (*)
Xét đường tròn (O)(O) có ∠BAK=∠BJK∠BAK=∠BJK (**) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BKBK)
Từ (*) và (**) ta suy ra ∠BJK=∠BDE∠BJK=∠BDE (đpcm)
Gọi II là giao điểm của BJBJ và ED.ED. Chứng minh tứ giác ALIJALIJ nội tiếp và II là trung điểm của ED.ED.
Xét tam giác BDJBDJ và tam giác BIDBID có:
∠BJK=∠BDE(cmt)∠BJK=∠BDE(cmt);
∠DBJ∠DBJ chung;
Lại có BD2=BL.BA(cmt)BD2=BL.BA(cmt)
⇒BL.BA=BI.BJ⇒BLBJ=BIBA⇒BL.BA=BI.BJ⇒BLBJ=BIBA.
Xét tam giác BLIBLI và tam giác BJABJA có:
⇒∠BLI=∠BJA⇒∠BLI=∠BJA (hai góc tương ứng).
⇒⇒ Tứ giác ALIJALIJ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
+) Tứ giác BEDCBEDC là tứ giác nội tiếp (cmt) ⇒∠AED=∠ACB⇒∠AED=∠ACB.
Mà ∠ACB=∠BJA∠ACB=∠BJA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ABAB).
⇒∠AED=∠BJA⇒∠AED=∠BJA (6)
Từ (5) và (6) ⇒∠BLI=∠AED⇒∠BLI=∠AED hay ∠ELI=∠LEI⇒ΔIEL∠ELI=∠LEI⇒ΔIEL cân tại I⇒IL=IEI⇒IL=IE.
Ta có {∠ILD=900−∠ELI∠IDL=900−∠LEI⇒∠ILD=∠IDL⇒ΔILD cân tại I⇒IL=ID.
Vậy IE=ID⇒I là trung điểm của ED(dpcm).
Quảng cáo
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
