Gọi \({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích của khối tứ diện đều và khối lập phương có chung

Câu hỏi số 543193:

Vận dụng

Gọi \({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích của khối tứ diện đều và khối lập phương có chung mặt cầu ngoại tiếp. Khi đó, \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng

A. \(\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\)

B. \(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{{9\sqrt 3 }}\)

C. \(\dfrac{1}{{3\sqrt 3 }}\)

D. \(\dfrac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543193

Phương pháp giải

Bước 1: Lập tỉ lệ giữa cạnh của hình tứ diện đều và bán kính mặt cầu ngoại tiếp, tỉ lệ giữa cạnh hình lập phương và bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Bước 2: Lập tỉ số về thể tích giữa tứ diện đều và mặt cầu ngoại tiếp, giữa hình lập phương và mặt cầu ngoại tiếp.

Bước 3: Tính \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)

Giải chi tiết

Bước 1: Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều khi đó ta có: \(R = \dfrac{{3a}}{{2\sqrt 6 }} \Leftrightarrow a = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}R\)

Gọi b là độ dài hình lập phương, ta có: \(R = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2}} }}{2} = \dfrac{{b\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow b = \dfrac{{2R}}{{\sqrt 3 }}\)

Bước 2: Tỉ số cạnh của tứ diện đều và lập phương có cùng mặt cầu ngoại tiếp \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}:\dfrac{2}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 2 \)

Bước 3: Tính \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)

Thể tích tứ diện đều cạnh a là \({V_1} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Thể tích khối lập phương cạnh b là : \({V_2} = {b^3}\)

Vậy tỉ lệ thể tích: \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^3}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}} = 2\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{1}{3}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.