Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\), góc

Câu hỏi số 543596:

Thông hiểu

Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\), góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({30^0}\) (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543596

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SC\) và hình chiếu của nó trên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Tính \(AC\). Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông. Từ đó tính độ dài cạnh hình vuông ABCD và tính diện tích đáy.

- Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).

Giải chi tiết

Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow {30^0} = \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \angle SCA\).

Lại có: \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) \( \Rightarrow AC = \dfrac{{SA}}{{\tan \angle SCA}} = \dfrac{a}{{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}} = a\sqrt 3 \).

Mặt khác: \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AB = BC = CD = DA = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{3}{2}{a^2}\).

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}a.\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.