Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \) và

Câu hỏi số 543809:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \) và \(z.\overline z = 25\)

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(1\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543809

Phương pháp giải

Gọi số phức cần tìm là \(z = a + bi\,\left( {a,b \in {\bf{R}}} \right)\)

Thay vào \(\left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \) và \(z.\overline z = 25\), từ đó tìm được \(a,b\).

Giải chi tiết

Gọi số phức cần tìm là \(z = a + bi\,\left( {a,b \in {\bf{R}}} \right)\)

Ta có: \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2} = 25\) (1)

Lại có: \(\left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \Leftrightarrow \left| {a - 2 + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \sqrt {10} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 10\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4a - 2b + 5 = 10\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Thay (1) vào (2) ta được: \(25 - 4a - 2b + 5 = 10 \Leftrightarrow b = - 2a + 10\)

Nên \({a^2} + {b^2} = 25\, \Leftrightarrow {a^2} + {\left( { - 2a + 10} \right)^2} = 25\)

\( \Leftrightarrow 5{a^2} - 40a + 75 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 5\\a = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = 4\end{array} \right.\)

Vậy có hai số phức \(z\) thỏa mãn là \(z = 5\) và \(z = 3 + 4i\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.