Cho các số thực a, b thỏa mãn \(1 < a < b \le 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P =

Câu hỏi số 546129:

Vận dụng cao

Cho các số thực a, b thỏa mãn \(1 < a < b \le 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3{\log _a}\left( {{b^2} + 16b - 16} \right) + \dfrac{{16}}{{27}}\log _{\frac{b}{a}}^3a\).

A. 8

B. 18

C. 9

D. 17

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:546129

Giải chi tiết

Ta có: \({\log _{\frac{b}{a}}}a = \dfrac{1}{{{{\log }_a}\dfrac{b}{a}}} = \dfrac{1}{{{{\log }_a}b - 1}}\) (1)

Vì \(b \in \left[ {1;4} \right]\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {b - 1} \right)\left( {{b^2} - 16} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {b^3} - {b^2} - 16b + 16 \le 0\\ \Leftrightarrow {b^3} \le {b^2} + 16b - 16\\ \Leftrightarrow {\log _a}\left( {{b^2} + 16b - 16} \right) \ge {\log _a}{b^3}\\ \Leftrightarrow {\log _a}\left( {{b^2} + 16b - 16} \right) \ge 3{\log _a}b\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\begin{array}{l}P \ge 3\left( {t - 1} \right) + 3\left( {t - 1} \right) + 3\left( {t - 1} \right) + \dfrac{{16}}{{27}}.\dfrac{1}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}} + 9\\\,\,\,\,\, \ge 4\sqrt[4]{{27.{{\left( {t - 1} \right)}^3}\dfrac{{16}}{{27}}.\dfrac{1}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}}}} + 9 = 17\end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 4\\3\left( {t - 1} \right) = \dfrac{{16}}{{27}}.\dfrac{1}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\{\left( {t - 1} \right)^4} = \dfrac{{16}}{{81}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\t = \dfrac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\{\log _b}a = \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {4^{\frac{3}{5}}}\\b = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy minP = 17.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.