Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích V. Gọi M là trung điểm của cạnh

Câu hỏi số 546128:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích V. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm trên cạnh SB sao cho SN = 3NB. Mặt phẳng (P) thay đổi đi qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt P, Q. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.MNPQ?

A. \(\dfrac{V}{3}\)

B. \(\dfrac{{27}}{{80}}V\)

C. \(\dfrac{{27}}{{40}}V\)

D. \(\dfrac{V}{6}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:546128

Phương pháp giải

Sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson.

Giải chi tiết

Đặt \(\dfrac{{SC}}{{SP}} = x,\,\,\dfrac{{SD}}{{SQ}} = y\) với \(x,\,\,y \ge 1\).

Vì S.ABCD là hình chóp có đáy là hình bình hành nên \(\dfrac{{SA}}{{SM}} + \dfrac{{SC}}{{SP}} = \dfrac{{SB}}{{SN}} + \dfrac{{SD}}{{SQ}}\).

\( \Rightarrow 2 + \dfrac{{SC}}{{SP}} = \dfrac{4}{3} + \dfrac{{SD}}{{SQ}} \Rightarrow y = \dfrac{2}{3} + x\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.MNPQ}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{2{V_{S.ABC}}}} + \dfrac{{{V_{S.MQP}}}}{{2{V_{S.ADC}}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} + \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SQ}}{{SD}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{y}.\dfrac{1}{x}} \right) = \dfrac{1}{{4x}}\left( {\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{y}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{4x}}\left( {\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{{3x + 2}}} \right) = \dfrac{{9\left( {x + 2} \right)}}{{16\left( {3{x^2} + 2x} \right)}}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{9\left( {x + 2} \right)}}{{16\left( {3{x^2} + 2x} \right)}}\) với \(x \ge 1\) ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{9}{{16}}.\dfrac{{ - 3{x^2} - 12x - 4}}{{{{\left( {3{x^2} + 2x} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \ge 1\).

Suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) \le f\left( 1 \right) = \dfrac{{27}}{{80}}\,\,\forall x \ge 1\).

Vây \(\max {V_{S.MNPQ}} = \dfrac{{27}}{{80}}V\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.