Phương trình \({\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^x} + 6{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^x} = {5.2^x}\) có bao nhiêu

Câu hỏi số 547908:

Vận dụng

Phương trình \({\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^x} + 6{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^x} = {5.2^x}\) có bao nhiêu nghiệm lớn hơn 1?

A. \(3\).

B. \(1\).

C. \(2\).

D. \(0\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547908

Phương pháp giải

- Chia cả 2 vế cho \({2^x}\).

- Đặt ẩn phụ \({\left( {\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right)^x} = t\).

- Giải phương trình.

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^x} + 6{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^x} = {5.2^x}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)^x} + 6{\left( {\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right)^x} = 5\).

Đặt ẩn phụ \({\left( {\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right)^x} = t > 0\). Khi đó \({\left( {\dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)^x} = \dfrac{1}{t}\)

Phương trình trở thành \(\dfrac{1}{t} + 6t = 5\)\( \Leftrightarrow 6{t^2} - 5t + 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{2}\\t = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right)^x} = \dfrac{1}{2}\\{\left( {\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right)^x} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\log _{\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}}}\dfrac{1}{2} > 1\\x = {\log _{\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}}}\dfrac{1}{3} > 1\end{array} \right.\\\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm lớn hơn 1.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.