Một điểm sáng S ở cách màn ảnh một khoảng L. Trong khoảng giữa S và màn đặt một thấu kính

Câu hỏi số 550058:

Vận dụng cao

Một điểm sáng S ở cách màn ảnh một khoảng L. Trong khoảng giữa S và màn đặt một thấu kính \({O_1}\) sao cho trục chính của thấu kính đi qua S và vuông góc với màn ảnh. Thấu kính có rìa hình tròn.

a) Khi L = 100cm, xê dịch thấu kính trong khoảng giữa S và màn ta chỉ tìm được một vị trí của thấu kính mà tại đó có ảnh rõ nét của S trên màn. Xác định vị trí của thấu kính khi đó và tính tiêu cự f của thấu kính?

b) Khi L = 81cm, xê dịch thấu kính trong khoảng vật – màn thì vết sáng trên màn không bao giờ thu lại một điểm, nhưng khi thấu kính cách màn một khoảng b thì vết sáng trên màn có bán kính nhỏ nhất. Xác định b?

(Học sinh không áp dụng trực tiếp công thức thấu kính).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550058

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng

Phương trình\(a{x^2} + bx + c = 0\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: \(\Delta > 0\)

Phương trình có 1 nghiệm kép khi: \(\Delta = 0\)

Phương trình vô nghiệm khi: \(\Delta < 0\)

Bất đẳng thức Cauchy: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\))

Giải chi tiết

a) Ta có hình vẽ:

Xét \(\Delta S'{F_1}O \sim \Delta S'IS\) và \(\Delta S'{F_1}F \sim \Delta S'IO\) có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{S'O}}{{S'S}} = \dfrac{{S'F}}{{S'I}} = \dfrac{{S'F}}{{S'O}} \Rightarrow \dfrac{{S'O}}{{S'S}} = \dfrac{{S'F}}{{S'O}}\\ \Rightarrow \dfrac{{L - d}}{L} = \dfrac{{L - d - f}}{{L - d}}\,\,\left( 1 \right) \Rightarrow {\left( {L - d} \right)^2} = L\left( {L - d - f} \right)\\ \Rightarrow {L^2} - 2Ld + {d^2} = {L^2} - Ld - Lf\\ \Rightarrow {d^2} - Ld + Lf = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét \(\Delta = {L^2} - 4Lf\)

Dịch chuyển thấu kính chỉ có 1 vị trí cho ảnh rõ nét trên màn → phương trình (*) có 1 nghiệm kép

\( \Rightarrow \Delta = 0 \Rightarrow {L^2} - 4Lf = 0 \Rightarrow f = \dfrac{L}{4} = 25\,\,\left( {cm} \right)\)

Vị trí thấu kính khi đó cách điểm sáng S một đoạn là:

\(d = \dfrac{L}{2} = 50\,\,\left( {cm} \right)\)

b) Ta có: \(L = 81\left( {cm} \right) \Rightarrow \Delta = {L^2} - 4Lf < 0 \to \) phương trình (*) vô nghiệm, vết sáng trên màn không bao giờ thu lại một điểm

Giả sử bán kính rìa thấu kính là a

Khi thấu kính dịch chuyển từ S tới màn, các trường hợp có thể xảy ra là:

+ TH1: Khoảng cách từ thấu kính đến S: \(d < f \to \) ảnh qua thấu kính là ảnh ảo ở phía trước màn

→ chùm tia ló khỏi thấu kính là chùm phân kì, bán kính vùng sáng trên màn: \(r > a\)

+ TH2: Điểm sáng S trùng tiêu điểm chính của thấu kính

→ chùm tia ló khỏi thấu kính là chùm song song, bán kính vùng sáng trên màn: \(r = a\)

+ TH3: Khoảng cách từ thấu kính đến S: \(d > f \to \) ảnh S’ qua thấu kính là ảnh thật, nằm sau màn

Từ (1) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{d'}}{{d + d'}} = \dfrac{{d' - f}}{{d'}} \Rightarrow d{'^2} = dd' - df + d{'^2} - d'f\\ \Rightarrow d'\left( {d - f} \right) = df \Rightarrow d' = \dfrac{{df}}{{d - f}}\end{array}\)

Xét \(\Delta S'AH \sim \Delta S'IO\) có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{S'H}}{{S'O}} = \dfrac{{AH}}{{OI}} = \dfrac{r}{a} \Rightarrow \dfrac{r}{a} = \dfrac{{d + d' - L}}{{d'}} = 1 - \dfrac{{L - d}}{{d'}}\\ \Rightarrow \dfrac{r}{a} = 1 - \dfrac{{\left( {L - d} \right)\left( {d - f} \right)}}{{df}} = 1 - \dfrac{{dL - {d^2} + df - Lf}}{{df}}\\ \Rightarrow \dfrac{r}{a} = \left( {\dfrac{d}{f} + \dfrac{L}{d}} \right) - \dfrac{L}{f}\end{array}\)

Để \({r_{\min }} \Rightarrow {\left( {\dfrac{d}{f} + \dfrac{L}{d}} \right)_{\min }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{d}{f} + \dfrac{L}{d} \ge 2\sqrt {\dfrac{d}{f}.\dfrac{L}{d}} \\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{d}{f} + \dfrac{L}{d}} \right)_{\min }} = 2\sqrt {\dfrac{L}{f}} \Leftrightarrow \dfrac{d}{f} = \dfrac{L}{d} \Rightarrow d = \sqrt {Lf} \\ \Rightarrow d = \sqrt {81.25} = 45\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow b = L - d = 36\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.