Cho đường tròn tâm \(\left( {O,R} \right)\), từ một điểm \(A\) trên đường tròn kẻ tiếp tuyến

Câu hỏi số 553181:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(\left( {O,R} \right)\), từ một điểm \(A\) trên đường tròn kẻ tiếp tuyến \(d\) với đường tròn tâm \(O\). Trên đường thẳng \(d\) lấy điểm \(M\) bất kì (\(M\) khác \(A\)), kẻ tiếp tuyến thứ hai \(MB\) (\(B\) là tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác \(AMBO\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(OM\). Chứng minh \(OI.OM = {R^2};{\rm{ }}OI.IM = \dfrac{{A{B^2}}}{4}\).

c) Gọi điểm \(H\) là trực tâm của tam giác \(MAB\). Tìm quỹ tích điểm \(H\) khi điểm \(M\) di chuyển trên đường thẳng \(d\).

Xem lời giải

Câu hỏi:553181

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta MAO\) vuông tại \(A\), đường cao \(AI\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có hệ thức cần chứng minh.

c) Ta sẽ chứng minh: \(AOBH\) là hình thoi \( \Rightarrow AH = AO = R\)

\( \Rightarrow \) Tìm được quỹ tích điểm \(H\)

Giải chi tiết

a) Vì \(MA,MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \angle MAO = \angle MBO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(AMBO\) có: \(\angle MAO + \angle MBO = {180^0}\) mà \(\angle MAO,\angle MBO\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow AMBO\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Vì \(MA,MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có: \(OA = OB = R\)

\( \Rightarrow MO\) là đường trung trực của \(AB\)

\( \Rightarrow OM \bot AB\) tại \(I\)

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow AI = IB = \dfrac{{AB}}{2}\)

Ta lại có: \(\angle MAO = {90^0}\) (vì \(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow \Delta MAO\) vuông tại \(A\)

\(\Delta MAO\) vuông tại \(A\), đường cao \(AI\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(OI.OM = O{A^2} = {R^2}\) và \(OI.{\rm{ }}IM = I{A^2} = \dfrac{{A{B^2}}}{4}\) (đpcm).

c) + \(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow OB \bot MB\)

\(H\) là trực tâm của tam giác \(\Delta MAB \Rightarrow AH \bot MB\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OB \bot MB\\AH \bot MB\end{array} \right. \Rightarrow OB//AH\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

+ \(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow OA \bot MA\)

\(H\) là trực tâm của tam giác \(\Delta MAB \Rightarrow BH \bot MA\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot MA\\BH \bot MA\end{array} \right. \Rightarrow OA//BH\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác \(AOBH\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}OB//AH\\OA//BH\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AOBH\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Mà \(OA = OB = R\)

\( \Rightarrow AOBH\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)

\( \Rightarrow AH = AO = R\)

Vậy khi \(M\) di chuyển trên đường thẳng \(\left( d \right)\) thì \(H\) luôn cách \(A\) cố định một khoảng bằng \(R\). Do đó, quỹ tích của điểm \(H\) khi \(M\) di chuyển trên đường thẳng \(\left( d \right)\) là nửa đường tròn tâm \(\left( {A,AH} \right)\,,AH = R\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.