Giải phương trình sau: \(\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} = {x^2} + 7x + 5.\)

Câu hỏi số 553182:

Vận dụng cao

A. \(S = \left\{ {1 + \sqrt 6 } \right\}\)

B. \(S = \left\{ {1 \pm \sqrt 6 } \right\}\)

C. \(S = \left\{ {1 \pm \sqrt 6 ;2} \right\}\)

D. \(S = \left\{ {1 \pm \sqrt 6 ;0} \right\}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:553182

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình ban đầu về dạng: \({f^2}\left( x \right) = a\) (với \(a\) là hằng số)

Sau đó, giải phương trình: \(\sqrt {h\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\left( {h\left( x \right) \ge 0} \right)\\h\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x \ge - \dfrac{5}{2}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} = {x^2} + 7x + 5\\ \Leftrightarrow 4\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} = 4\left( {{x^2} + 7x + 5} \right)\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 28x + 20 - 4\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {4{x^2} + 10x + 25} \right) - 2.\left( {2x + 5} \right).2\sqrt {2x + 5} + 4\left( {2x + 5} \right) = 25\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + 5} \right)^2} - 2.\left( {2x + 5} \right).2\sqrt {2x + 5} + {\left( {2\sqrt {2x + 5} } \right)^2} = 25\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + 5 - 2\sqrt {2x + 5} } \right)^2} = 25\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 - 2\sqrt {2x + 5} = 5\\2x + 5 - 2\sqrt {2x + 5} = - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2\sqrt {2x + 5} = 0\\2x + 10 - 2\sqrt {2x + 5} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 5} = x\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sqrt {2x + 5} = x + 5\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2x + 5 = {x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} + 2x - 5 = 0\end{array} \right.\)

Ta có: \(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 5} \right) = 6 > 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 6 \left( {tm\,\,x \ge 0} \right)\\x = - 1 - \sqrt 6 \,\left( {ktm\,\,x \ge 0} \right)\end{array} \right.\)

Giải \(\left( 2 \right)\): Vì \(x \ge - \dfrac{5}{2} \Rightarrow x + 5 > 0\)

Khi đó, \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2x + 5 = {\left( {x + 5} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + 5 = {x^2} + 10x + 25\\ \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 20 = 0\end{array}\)

Ta có: \(\Delta ' = {4^2} - 20 = - 4 < 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {1 + \sqrt 6 } \right\}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.