Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 2y + x - 2{x^2}y = 0}\\{\sqrt {x + 1}

Câu hỏi số 553514:

Vận dụng

Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 2y + x - 2{x^2}y = 0}\\{\sqrt {x + 1} - \sqrt {16 - y} = 3}\end{array}} \right.\).

A. \(\left( {x;y} \right) = \left( {13;2} \right)\)

B. \(\left( {x;y} \right) = \left( {24;12} \right)\)

C. \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;9} \right)\)

D. \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;8} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:553514

Phương pháp giải

Xác định điều kiện để hệ phương trình xác định: biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)

Biến đổi phương trình \({x^3} - 2y + x - 2{x^2}y = 0\), tìm được mối quan hệ của \(x\) và \(y\)

Thay vào phương trình \(\sqrt {x + 1} - \sqrt {16 - y} = 3\), tìm được nghiệm của hệ phương trình.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x \ge - 1\) và \(y \le 16\)

Với điều kiện đó, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 2y + x - 2{x^2}y = 0}\\{\sqrt {x + 1} - \sqrt {16 - y} = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0}\\{\sqrt {x + 1} - \sqrt {16 - y} = 3}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\{x^2} + 1 = 0\end{array} \right.}\\{\sqrt {2y + 1} - \sqrt {16 - y} = 3.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sqrt {2y + 1} - \sqrt {16 - y} = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) (vì phương trình \({x^2} + 1 = 0\) vô nghiệm)

Ta có:

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt {2y + 1} - \sqrt {16 - y} - 3 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\sqrt {2y + 1} - 5} \right) - \left( {\sqrt {16 - y} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {2y + 1} - 5} \right)\left( {\sqrt {2y + 1} + 5} \right)}}{{\sqrt {2y + 1} + 5}} - \dfrac{{\left( {\sqrt {16 - y} - 2} \right)\left( {\sqrt {16 - y} + 2} \right)}}{{\sqrt {16 - y} + 2}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {\sqrt {2y + 1} } \right)}^2} - {5^2}}}{{\sqrt {2y + 1} + 5}} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt {16 - y} } \right)}^2} - {2^2}}}{{\sqrt {16 - y} + 2}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2y + 1 - 25}}{{\sqrt {2y + 1} + 5}} - \dfrac{{16 - y - 4}}{{\sqrt {16 - y} + 2}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2y - 24}}{{\sqrt {2y + 1} + 5}} - \dfrac{{12 - y}}{{\sqrt {16 - y} + 2}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {y - 12} \right)}}{{\sqrt {2y + 1} + 5}} + \dfrac{{y - 12}}{{\sqrt {16 - y} + 2}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 12} \right)\left( {\dfrac{2}{{\sqrt {2y + 1} + 5}} + \dfrac{1}{{\sqrt {16 - y} + 2}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 12 = 0\\\dfrac{2}{{\sqrt {2y + 1} + 5}} + \dfrac{1}{{\sqrt {16 - y} + 2}} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\\\dfrac{2}{{\sqrt {2y + 1} + 5}} + \dfrac{1}{{\sqrt {16 - y} + 2}} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vì \(x \ge - 1 \Rightarrow 2y \ge - 1 \Rightarrow y \ge - \dfrac{1}{2}\)

Với \( - \dfrac{1}{2} \le y \le 16\) thì \(\dfrac{2}{{\sqrt {2y + 1} + 5}} + \dfrac{1}{{\sqrt {16 - y} + 2}} > 0\) do đó, phương trình \(\dfrac{2}{{\sqrt {2y + 1} + 5}} + \dfrac{1}{{\sqrt {16 - y} + 2}} = 0\) vô nghiệm.

Thay \(y = 12\) vào (1), ta được \(x = 24\).

Cặp số \(\left( {x;y} \right) = \left( {24;12} \right)\) thỏa mãn điều kiện.

Vì thế, cặp số đó là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.