Tìm tất cả các số thực \(a,b\) sao cho phương trình (ẩn \(x\)) \({x^2} + ax + b = 0\) có hai nghiệm

Câu hỏi số 553513:

Vận dụng

Tìm tất cả các số thực \(a,b\) sao cho phương trình (ẩn \(x\)) \({x^2} + ax + b = 0\) có hai nghiệm là \(\dfrac{a}{3}\) và \(\dfrac{1}{{a + 2}}\).

A. \(\left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 1}}{9}} \right),\left( {\dfrac{{ - 3}}{2}; - 1} \right)} \right\}\)

B. \(\left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 1}}{7}} \right),\left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)} \right\}\)

C. \(\left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{1}{7}} \right),\left( {\dfrac{1}{2};1} \right)} \right\}\)

D. \(\left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{7}} \right),\left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)} \right\}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:553513

Phương pháp giải

Áp dụng định lí Vi-ét (thuận và đảo)

Giải chi tiết

Theo định lí Vi-ét (thuận và đảo), \(a,b\) là các số thực thỏa mãn yêu cầu đề bài khi và chỉ khi :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{\dfrac{a}{3} + \dfrac{1}{{a + 2}} = - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}\\{\dfrac{a}{3} \cdot \dfrac{1}{{a + 2}} = b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}\end{array}} \right.\)

Với \(a\) thỏa mãn (1) ta có

\({\rm{(2) }} \Leftrightarrow 4{a^2} + 8a + 3 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{a^2} + 2a + 6a + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2a\left( {2a + 1} \right) + 3\left( {2a + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2a + 1} \right)\left( {2a + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2a + 1 = 0\\2a + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\a = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(a = \dfrac{{ - 1}}{2}\) vào (3) ta được \(b = \dfrac{{ - 1}}{9}\)

Thay \(a = \dfrac{{ - 3}}{2}\) vào (3) ta được \(b = - 1\)

Vậy có tất cả hai cặp số thực \(a,b\) thỏa mãn yêu cầu là \(\left( {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 1}}{9}} \right),\left( {\dfrac{{ - 3}}{2}; - 1} \right)\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.