Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho đường tròn tâm OO, bán kính RR. Từ một điểm AA ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp
Cho đường tròn tâm OO, bán kính RR. Từ một điểm AA ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến ABAB và ACAC với đường tròn (BB và CC là các tiếp điểm). Qua BB kẻ đường thẳng song song với AOAO cắt đường tròn tại MM (M(M khác B)B), đường thẳng AMAM cắt đường tròn tại N(NN(N khác M)M), đường thẳng BNBN cắt AOAO tại I,AOI,AO cắt BCBC tại KK. Chứng minh rằng:
1) Tứ giác ABOCABOC là tứ giác nội tiếp;
2) IA2=IN.IBIA2=IN.IB;
3) IA=IKIA=IK;
4) KC2KN2=AMANKC2KN2=AMAN.
Quảng cáo
1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 18001800 là tứ giác nội tiếp.
2) ΔIAN∼ΔIBA(g.g)⇒IA2=IN.IBΔIAN∼ΔIBA(g.g)⇒IA2=IN.IB
3) + C,O,MC,O,M thẳng hàng
+ Tứ giác ANKCANKC là tứ giác nội tiếp
+ KI⊥BIKI⊥BI
+ ΔBIKΔBIK vuông tại K,KI⊥BIK,KI⊥BI⇒IK2=IN.IB⇒IK2=IN.IB
+ IA2=IN.IB(cmt)IA2=IN.IB(cmt)
⇒IK=IA⇒IK=IA
4) AMMN=KB2BN2AMMN=KB2BN2 và MNAN=BN2NK2MNAN=BN2NK2⇒KC2KN2=AMAN⇒KC2KN2=AMAN
1) Tứ giác ABOCABOC là tứ giác nội tiếp;
+ BABA là tiếp tuyến của đường tròn (O)⇒∠ABO=900(O)⇒∠ABO=900
CACA là tiếp tuyến của đường tròn (O)⇒∠ACO=900(O)⇒∠ACO=900
+ Xét tứ giác ABOCABOC có: ∠ABO+∠ACO=900+900=1800∠ABO+∠ACO=900+900=1800
Mà ∠ABO,∠ACO∠ABO,∠ACO là hai góc đối nhau
⇒ABOC⇒ABOC là tứ giác nội tiếp (dhnb).
2) IA2=IN.IBIA2=IN.IB;
Ta có: BM//AO(gt)⇒∠BMA=∠NAIBM//AO(gt)⇒∠BMA=∠NAI (hai góc so le trong) (1)
Xét (O)(O) có: ∠BMN=∠ABN∠BMN=∠ABN (góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BNBN)
⇒∠BMA=∠ABI⇒∠BMA=∠ABI (2)
Từ (1) và (2), suy ra ∠BAM=∠NAI∠BAM=∠NAI
Xét ΔIANΔIAN và ΔIBAΔIBA có:
∠AIBchung∠BMA=∠ABI(cmt)}⇒ΔIAN∼ΔIBA(g.g)
⇒IAIB=INIA⇒IA2=IN.IB
3) IA=IK;
BA,BC là tiếp tuyến của đường tròn (O)⇒AB=AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Lại có: OB=OC=R
⇒AO là đường trung trực của BC
⇒AO⊥BC mà AO//BM
⇒BC⊥BM (quan hệ từ vuông góc đến song song)
⇒∠CBM=900
⇒C,O,M thẳng hàng (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CM)
⇒∠MNC=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CM)
⇒∠ANC=900 (kề bù với ∠MNC)
Xét tứ giác ANKC có: ∠ANC=∠AKC=900 mà N,K là hai đỉnh kề nhau
⇒ANKC là tứ giác nội tiếp (dhnb)
⇒∠CAN=∠BKN (tính chất tứ giác nội tiếp)
Mà ∠CBN=∠NMC (góc nội tiếp cùng chắn cung CN)
⇒∠BKN+∠CBN=∠CAN+∠NMC=900⇒∠BNK=900⇒KN⊥BI
ΔBIK vuông tại K, đường cao KN, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: IK2=IN.IB
Ta có: {IA2=IN.IB(cmt)IK2=IN.IB(cmt)⇒IA2=IK2⇒IA=IK (đpcm)
4) KC2KN2=AMAN.
Ta có: BM//AI(doBM//AO)⇒AMMN=BIBN (Hệ quả của định lý Ta – lét)
Mà BIBN=BI.BNBN2=KB2BN2⇒AMMN=KB2BN2 (3)
BM//AI(doBM//AO)⇒MNAN=BNNI(Hệ quả của định lý Talet)
BNNI=BN2NI.BN=BN2NK2⇒MNAN=BN2NK2 (4)
Từ (3) và (4) ⇒AMAN=KB2KN2=KC2KN2(KB=KC)
Vậy AMAN=KC2KN2
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
