Cho đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Từ một điểm \(A\) ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp

Câu hỏi số 554460:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Từ một điểm \(A\) ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) với đường tròn (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Qua \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AO\) cắt đường tròn tại \(M\) \((M\) khác \(B)\), đường thẳng \(AM\) cắt đường tròn tại \(N(N\) khác \(M)\), đường thẳng \(BN\) cắt \(AO\) tại \(I,AO\) cắt \(BC\) tại \(K\). Chứng minh rằng:

1) Tứ giác \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp;

2) \(I{A^2} = IN.IB\);

3) \(IA = IK\);

4) \(\dfrac{{K{C^2}}}{{K{N^2}}} = \dfrac{{AM}}{{AN}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554460

Phương pháp giải

1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

2) \(\Delta IAN \sim \Delta IBA\left( {g.g} \right) \Rightarrow I{A^2} = IN.IB\)

3) + \(C,O,M\) thẳng hàng

+ Tứ giác \(ANKC\) là tứ giác nội tiếp

+ \(KI \bot BI\)

+ \(\Delta BIK\) vuông tại \(K,KI \bot BI\)\( \Rightarrow I{K^2} = IN.IB\)

+ \(I{A^2} = IN.IB\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow IK = IA\)

4) \(\dfrac{{AM}}{{MN}} = \dfrac{{K{B^2}}}{{B{N^2}}}\) và \(\dfrac{{MN}}{{AN}} = \dfrac{{B{N^2}}}{{N{K^2}}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{K{C^2}}}{{K{N^2}}} = \dfrac{{AM}}{{AN}}\)

Giải chi tiết

1) Tứ giác \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp;

+ \(BA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \angle ABO = {90^0}\)

\(CA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \angle ACO = {90^0}\)

+ Xét tứ giác \(ABOC\) có: \(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà \(\angle ABO,\angle ACO\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

2) \(I{A^2} = IN.IB\);

Ta có: \(BM//AO\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BMA = \angle NAI\) (hai góc so le trong) (1)

Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle BMN = \angle ABN\) (góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BN\))

\( \Rightarrow \angle BMA = \angle ABI\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(\angle BAM = \angle NAI\)

Xét \(\Delta IAN\) và \(\Delta IBA\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AIB\,\,\,chung\\\angle BMA = \angle ABI\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta IAN \sim \Delta IBA\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{IB}} = \dfrac{{IN}}{{IA}}\\ \Rightarrow I{A^2} = IN.IB\end{array}\)

3) \(IA = IK\);

\(BA,BC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có: \(OB = OC = R\)

\( \Rightarrow AO\) là đường trung trực của \(BC\)

\( \Rightarrow AO \bot BC\) mà \(AO//BM\)

\( \Rightarrow BC \bot BM\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \angle CBM = {90^0}\)

\( \Rightarrow C,O,M\) thẳng hàng (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(CM\))

\( \Rightarrow \angle MNC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(CM\))

\( \Rightarrow \angle ANC = {90^0}\) (kề bù với \(\angle MNC\))

Xét tứ giác \(ANKC\) có: \(\angle ANC = \angle AKC = {90^0}\) mà \(N,K\) là hai đỉnh kề nhau

\( \Rightarrow ANKC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \angle CAN = \angle BKN\) (tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà \(\angle CBN = \angle NMC\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(CN\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle BKN + \angle CBN = \angle CAN + \angle NMC = {90^0}\\ \Rightarrow \angle BNK = {90^0}\\ \Rightarrow KN \bot BI\end{array}\)

\(\Delta BIK\) vuông tại \(K\), đường cao \(KN\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \(I{K^2} = IN.IB\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = IN.IB\left( {cmt} \right)\\I{K^2} = IN.IB\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I{A^2} = I{K^2} \Rightarrow IA = IK\) (đpcm)

4) \(\dfrac{{K{C^2}}}{{K{N^2}}} = \dfrac{{AM}}{{AN}}\).

Ta có: \(BM//AI\left( {do\,\,BM//AO} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{MN}} = \dfrac{{BI}}{{BN}}\) (Hệ quả của định lý Ta – lét)

Mà \(\dfrac{{BI}}{{BN}} = \dfrac{{BI.BN}}{{B{N^2}}} = \dfrac{{K{B^2}}}{{B{N^2}}} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{MN}} = \dfrac{{K{B^2}}}{{B{N^2}}}\) (3)

\(BM//AI\left( {do\,\,BM//AO} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{AN}} = \dfrac{{BN}}{{NI}}\)(Hệ quả của định lý Talet)

\(\dfrac{{BN}}{{NI}} = \dfrac{{B{N^2}}}{{NI.BN}} = \dfrac{{B{N^2}}}{{N{K^2}}} \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{AN}} = \dfrac{{B{N^2}}}{{N{K^2}}}\) (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{{K{B^2}}}{{K{N^2}}} = \dfrac{{K{C^2}}}{{K{N^2}}}(KB = KC)\)

Vậy \(\dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{{K{C^2}}}{{K{N^2}}}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link