Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB \ne AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi

Câu hỏi số 554750:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB \ne AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(I\) là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc \(\widehat {BAC}\) của tam giác \(ABC\). Đường thẳng \(AI\) cắt \(BC\) tại \(D\), cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\,\,\left( {E \ne A} \right)\).

a) Chứng minh \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IBC\).

b) Kẻ \(IH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\). Đường thẳng \(EH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(F\) \(\left( {F \ne E} \right)\). Chứng minh \(AF \bot FI\).

c) Đường thẳng \(FD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\,\,\left( {M \ne F} \right)\), đường thẳng \(IM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(N\) \(\left( {N \ne M} \right)\). Đường thẳng qua \(O\) song song với \(FI\) cắt \(AI\) tại \(J\), đường thẳng qua \(J\) song song với \(AH\) cắt \(IH\) tại \(P\). Chứng minh ba điểm \(N,\,\,E,\,\,P\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554750

Phương pháp giải

a) \(EB = EC = EI \Rightarrow E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta IBC\)\(\)

b) + \(\Delta FCE \sim \Delta CHE\left( {g.g} \right)\)

+ \(\Delta EIH \sim \Delta EFI\left( {c.g.c} \right)\)

+ \(\angle IAF + \angle AIF = \angle DHE + \angle EHI = {90^0} \Rightarrow AF \bot FI\)

c) + Gọi \(Q\) là điểm đối xứng với \(I\) qua \(E\).

+ \(MQFI\) là tứ giác nội tiếp

+ \(\Delta EQH \sim \Delta EFQ\)

+ \(EN//QH\)

\(E\) là trung điểm của \(IQ\) nên \(EN\) đi qua trung điểm \(P\) của \(IH\) hay \(N,E,P\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Có \(AI\) là phân giác góc \(\angle BAC \Rightarrow \angle BAE = \angle CAE\)\( \Rightarrow EB = EC\) (1)

Có \(\angle EBI = \angle CBI - \angle CBE = \dfrac{{{{180}^0} - \angle ABC}}{2} - \dfrac{{\angle BAC}}{2} = \dfrac{{\angle ACB}}{2} = \dfrac{{\angle AEB}}{2}\)

\( \Rightarrow \Delta BEI\) cân tại \(E \Rightarrow EB = EI\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCI\).

b) Ta có: \(\angle IAF = \angle DHE\)

Xét \(\Delta FCE\) và \(\Delta CHE\) có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{HE}} = \dfrac{{EF}}{{CE}}\\ \Rightarrow C{E^2} = EF.HE\\ \Rightarrow E{I^2} = EF.HE\\ \Rightarrow \dfrac{{EI}}{{HE}} = \dfrac{{EF}}{{EI}}\end{array}\)

Xét \(\Delta EIH\) và \(\Delta EFI\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle FEI\,\,chung\\\dfrac{{EI}}{{HE}} = \dfrac{{EF}}{{EI}}\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta EIH \sim \Delta EFI\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle EHI = \angle EIF\) (hai góc tương ứng)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle IAF + \angle AIF = \angle DHE + \angle EHI = {90^0}\\ \Rightarrow AF \bot FI\end{array}\)

c) \(OJ//FI\) nên \(OJ \bot AF \Rightarrow J\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AFI\)

\( \Rightarrow J\) là trung điểm \(AI \Rightarrow P\) là trung điểm của \(IH\).

Gọi \(Q\) là điểm đối xứng với \(I\) qua \(E\).

Có \(DQ.DI = DM.DF\left( { = DB.DC} \right)\)

\( \Rightarrow MQFI\) là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \angle QFM = \angle QIM\), mà \(\angle MNE = \angle MFE \Rightarrow \angle NEQ = \angle QFE\)

\(E{Q^2} = E{I^2} = EH.EF \Rightarrow \Delta EQH \sim \Delta EFQ\)\( \Rightarrow \angle QFE = \angle HQE\).

Suy ra \(\angle NEQ = \angle HQE\left( { = \angle QFE} \right)\)\( \Rightarrow EN//QH\)

Mà \(E\) là trung điểm của \(IQ\) nên \(EN\) đi qua trung điểm \(P\) của \(IH\) hay \(N,E,P\) thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link