Cho các số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{x\sqrt {xy} }}{{\sqrt {2x + y} }} +

Câu hỏi số 554751:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{x\sqrt {xy} }}{{\sqrt {2x + y} }} + \dfrac{{y\sqrt {yz} }}{{\sqrt {2y + z} }} + \dfrac{{z\sqrt {zx} }}{{\sqrt {2z + x} }} \ge \sqrt {3xyz} \).

Xem lời giải

Câu hỏi:554751

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT Cô – si và Bunhiacopxki

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x\sqrt {xy} }}{{\sqrt {2x + y} }} + \dfrac{{y\sqrt {yz} }}{{\sqrt {2y + z} }} + \dfrac{{z\sqrt {zx} }}{{\sqrt {2z + x} }} \ge \sqrt {3xyz} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x\sqrt {xyz} }}{{\sqrt {z\left( {2x + y} \right)} }} + \dfrac{{y\sqrt {xyz} }}{{\sqrt {x\left( {2y + z} \right)} }} + \dfrac{{z\sqrt {xyz} }}{{\sqrt {y\left( {2z + x} \right)} }} \ge \sqrt {3xyz} \\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {z\left( {2x + y} \right)} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {x\left( {2y + z} \right)} }} + \dfrac{z}{{\sqrt {y\left( {2z + x} \right)} }} \ge \sqrt 3 \end{array}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {z\left( {2x + y} \right)} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {x\left( {2y + z} \right)} }} + \dfrac{z}{{\sqrt {y\left( {2z + x} \right)} }} \ge 2\sqrt 3 \left( {\dfrac{x}{{3z + 2x + y}} + \dfrac{y}{{3x + 2y + z}} + \dfrac{z}{{3y + 2z + x}}} \right)\) (BĐT Cô – si)

\( \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {z\left( {2x + y} \right)} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {x\left( {2y + z} \right)} }} + \dfrac{z}{{\sqrt {y\left( {2z + x} \right)} }} \ge 2\sqrt 3 \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x\left( {3z + 2x + y} \right)}} + \dfrac{{{y^2}}}{{y\left( {3x + 2y + z} \right)}} + \dfrac{{{z^2}}}{{z\left( {3y + 2z + x} \right)}}} \right)\)

\( \ge \dfrac{{2\sqrt 3 {{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + 4\left( {xy + yz + xz} \right)}} = \sqrt 3 \) (BĐT Bunhiacopxki) (đpcm).

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \)\(x = y = z\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.